В государстве Шахматная Федерация живут черные и белые. Белые тратят на потребление долю $x$ своих дополнительных доходов, а черные — долю $y$. Государственные заказы размещаются поровну между двумя группами.

(а) Допустим, белые экономические агенты обращают свои расходы исключительно в доходы белых, а черные — исключительно в доходы черных. Найдите величину мультипликатора государственных закупок.

(б) Допустим, белые экономические агенты обращают свои расходы исключительно в доходы черных, а черные — исключительно в доходы белых. Найдите величину мультипликатора государственных закупок в этом случае.

(в) В каком из двух рассмотренных случаев значение мультипликатора государственных закупок больше? Зависит ли ваш ответ от конкретных значений предельных норм потребления двух групп?

Комментарии

минутка расизма на iloveeconomics.ru
Ага, ты еще статью напиши - о пользе сегрегации
Это если бы получалось, что в пункте (а) мультипликатор больше, чем в случае, когда все обмениваются со всеми. А у нас просто сравниваются два крайних случая.
Да, получился бы конфуз, если бы в пункте (а) мультипликатор оказался больше))
$\frac{1}{2(1-x)}+\frac{1}{2(1-y)}\geq \frac{1}{1-\frac{x+y}{2}}$
Это да! Но неочевидно, что в случае все-со-всеми мультипликатор будет равен $\frac{1}{1-\frac{x+y}{2}}$ - в действительности, это только если белые обращают ровно половину расходов в доходы черных, а черные - ровно половину в доходы белых!

Вообще, мультипликатор в случае "все-со-всеми" вывести сложнее, чем вывести мультипликаторы в этой задаче, т.к. судьбу единицы проследить гораздо сложнее (траектория будет все время разветвляться). Тем не менее, сделать это можно (с помощью метода первого шага). Скоро напишу ответ)

Итак, обобщим результаты этой задачи. Пусть нормы потребления равны $x$ и $y$, при этом пусть белые долю $a$ своих расходов обращают в доходы белых, а черные долю $b$ своих расходов обращают в доходы черных.

Пусть $A$ - во сколько раз вырастает единица, если она попадает к белому, а $B$ - во сколько раз вырастает единица, если она попадает к черному. Тогда искомый мультипликатор равен $\frac{A+B}{2}$.

Нетрудно догадаться, что $A$ и $B$ должны удовлетворять системе:
$$\begin{cases}A=1+axA+(1-a)xB\\B=1+byB+(1-b)yA\end{cases}$$

Решая ее, получаем $$A=\frac{1-by+(1-a)x}{(1-by)(1-ax)-(1-a)(1-b)xy}.$$
$B$ получается из $A$ заменой $x$ на $y$ и $a$ на $b$.

Тогда мультипликатор равен
$$mult_G=\frac{A+B}{2}=\frac{0,5(2-ax-by+(1-a)x+(1-b)y)}{(1-ax)(1-by)-(1-a)(1-b)xy}.$$

Ситуация пункта (а) соответствует $a=1$, $b=1$. Подставив эти числа, мы как раз получим $mult_G=\frac{1}{2(1-x)}+\frac{1}{2(1-y)}$.

Ситуация пункта (б) соответствует $a=0$, $b=0$. Подставив эти числа, мы как раз получим $mult_G=\frac{2+x+y}{2(1-xy)}$.

Если же подставить $a=b=0,5$, то как раз получим $mult_G=\frac{1}{1-\frac{x+y}{2}}$.

Теперь самое интересное: найдем максимум мультипликатора по $a$ и $b$ при фиксированных $x$ и $y$.

$mult'(a)=\frac{(1-2b)x(1+y)(x-y)}{(\ldots)^2}$

$mult'(b)=\frac{(1-2a)y(1+x)(y-x)}{(\ldots)^2}$

Глядя на эти производные, с помощью некоторых рассуждений можно доказать, что для любых $a,b$ хотя бы одно из двух утверждений верно: $mult(1,1)\ge mult(a,b)$ или $mult(0,0)\ge mult(a,b)$. Но в пункте (в) нашей задачи мы доказали, что $mult(1,1)\ge mult(0,0)$.

Значит, какими бы ни были $x$ и $y$, мультипликатор, как ни парадоксально, действительно максимален при $a=b=1$.

UPD: "Некоторые рассуждения" были не верны. На самом деле, мультипликатор максимален при $a=1$, $b=0$, если $x>y$, и при $a=0$, $b=1$, если $x

в формуле с фигурной скобкой = вместо +

метод решения крутой!

в целом это всё, скорее всего, артефакт олдскульного кейнсианства и вряд ли в строгой модели будут подобные содержательные результаты. но всё равно очень интересно

Да, артефакт) Но все-таки теперь придумать интуитивное объяснение полученному (более общему) выводу уже хочется.
Да. Мне тоже кажется такое соотношение совершенно удивительным. Интересно еще, что может этому соответствовать в разных макро моделях с гетерогенными агентами.
Я переделал выкладки на свежую голову. Результат там на самом деле не такой. Ответ в задаче максимизации мультипликатора более прозаичный: если $x>y$, то нужно поставить $a=1$ и $b=0$, если же $x
пожалуйста, не могли бы вы подробнее объяснить то, как получается мультипликатор в пункте Б?