Фирма находится в долгосрочном периоде. У неё есть несколько проектов заводов. Для каждого возможного Q она решает, какие заводы построить, а какие нет. Так получается функция LTC(Q) (long-run TC). При этом известно, что MC каждого завода строго возрастают при любом положительном Q.
Верно ли, что всегда найдётся такой объём Q, что фирма, производя его, будет использовать несколько заводов, а не один?

Комментарии

Заводы одинаковые? Т.е. функции издержек всех заводов совпадают или нет?
разные
Я думаю, что нет. Хотя это не столь принципиально для решения, вроде как.
верно.
для удобства смотрим только на два завода.
пусть первый лучше, то есть при небольших Q все производим на нем, ибо МС меньше.
теперь возьмем любое Q2>0 и посмотрим на $MC_2$ при этом Q. так и назовем его $MC_2$
докажем что при каком то Q1 на первом заводе будут такие же MC..ну это очевидно, так как они возрастают)
заметим что если в долгосрочном периоде мы захотим производить Q1+Q2, то мы будем производить именно Q1 на первом заводе и ровно Q2 на втором. это вытекает из возрастания МС. значит мы нашли такое Q=Q1+Q2
Мне вот не очевидно. Как насчёт $MC(Q)=\frac{Q}{Q+1}$?
А мне кажется это просто неправда.
$ MC_1 = \frac{Q_1}{Q_1+1} $
$ MC_2 = 1+ Q_2 $ ?
согласен
если предел $MC(Q_1)$ при Q стремящемся к беск-ти, меньше чем любое $MC(Q_2)$ тогда ответ нет, потому что мы тогда все будем на первом производить
ок. тогда дополнительный вопрос: а если, скажем, две MC выходят из одной точки, то всегда ли найдётся вышеописанное Q?
В общем, например если у $MC_1$ горизонтальная асимптота $MC=5$, а $MC_2 = 2Q+5$, то мы нашли случай, когда ответ нет?
ну да, а какие сомнения?
Сомнений нет, просто как-то все в неявном виде прозвучало, я подумал, может что-то не так.
ok.
Думаю да. Потому что, если при некоторых $Q_1$ и $Q_2$ $MC_1$ = $MC_2$, то объем $Q=Q_1+Q_2$ нам выгодно производить мощностями обоих заводов т.к. если мы перенесем производство $Q_2$ или его часть со второго на первый завод то в силу возрастания предельных издержек это будет экономически невыгодно.
Очевидно, если графики предельных издержек выходят из одной точки, то т.к. они возрастают всегда найдется ненулевые $Q_1$ и $Q_2$ такие что $MC_1$ = $MC_2$
всё бы хорошо, но ты забыл, что мы в долгосрочном периоде, и выгоды от низких MC могут не окупить открытие какого-нибудь завода.
В условии явно не сказано, что открытие завода - это еще издержки, но я и вправду забыл.
Получается мы ведем речь о подобии FC? Просто я думал про долгосрочный сказано как рас для того, чтобы избежать разговора о безвозвратных издержках ради выгоды в будущем, потому что разговор может принять абстрактный характер)
вспомни пример про кинотеатр и разрывную функцию из моей главы. тут как раз такой случай: в нуле издержки ноль (т.к. долгосрочный период), но стоит начать что-то производить, как потребуется построить завод.
Да, помню, еще задача была, где нужно найти распределение производств, при каком-то заданном Q, при этом издержки ненулевого производства на одном заводе достаточно велики.
Раз уж напрямик заговорили об этом, пусть другим будет понятнее. Это задачки вида:
Дано:
$ P_d = 1000 $
$ Q_d = 10000 $
$ TC_{everyone}=500000+20Q+0,02Q^2 $
Можно разделять производство между $ n $ абсолютно одинаковыми заводами. Фирма стремится к максимуму прибыли. Чему равно $ n $?

А насчёт вопроса, я согласен с Тимуром, что разговор может принять достаточно абстрактный характер, но попробую предложить идею. Предположим, что издержки по открытию завода достаточно велики (в случае небольших издержек по сравнению с $ TVC $ вроде всё понятно). Т.к. две функции $ MC $ возрастающие, то при каждом уровне $ MC > 0 $ мы сможем найти такие $ Q_1; Q_2 $, что $ MC_1(Q_1)=MC_2(Q_2) $. Чтобы хоть как - то окупить дополнительные издержки по построению завода, нужно чтобы мы на разделении производства между заводами выйграли столько же, т.е. если предположить что всегда $ TVC_1 < TVC_2 $, то $ TVC_1(Q_1+Q_2) - TVC_1(Q_1) - TVC_2(Q_2) > TFC_2 $. Для этого нужно брать достаточно большие $ Q_1; Q_2 $. Но, как в данном случае говорят математики, мы исходим из того, что задаём некоторое $ TFC_2 $, а после этого мы всегда сможем найти такие сколь угодно большие $ Q_1; Q_2 $, что верхнее неравенство выполнится, т.е. построение второго завода окупится. Т.е. такое $ Q $ всегда существует кроме случае, где у нас $ MC_1^{max} < MC_2^{min} $.

А вдруг у второго завода все еще асимптота на уровне MC=5 ,а оба MC исходят из единицы, то мы будем совмещать производство только при малых Q, при этом безвозвратные издержки открытия завода очень велики, значит никогда не окупятся.
Выберем очень больше $ Q_2 $ при $ MC_2\rightarrow5 $, и достаточно маленькое $ Q_1 $. Тогда второй завод точно окупится.
Ну а первый то не окупится? я просто неудачно пронумеровал.
А первый есть априори =)
Да, я понял, тут несостыковка. Ну а если правда предположить, что завод №1 у нас самый ранний, т.е. он уже есть и всё тут?
Хорошо, тогда пусть у первого завода асимптота на уровне 5, а у второго очень высокая цена постройки. Только не говори "пусть второй завод это первый, тогда он уже был"))
Нет, я понял, тогда кроме того, что MC ни на одном уровне не совпадают, надо ввести ещё несколько исключений, таких как это. =)
да), ну собственно ответ на вопрос задачи вполне однозначен
Согласен, потому что в таких задачах если ответ " да " - доказать, если " нет " - привести хоть один контрпример.
Поэтому, собственно, нет. Но ведь интереснее копнуть поглубже)
$$\text{"не можешь взять интеграл - бери лопату"} $$
Дану респект. Тимур, считай, что я уже включил в условие оговорку о том, что MC выходят из одной точки, если для тебя принципиально решить ровно ту задачу, которая написана в условии.
Кстати, если кто-нибудь, решая тесты "один из пяти", переходит к следующему вопросу, как только нашёл правильный ответ (и при этом не пытается понять, почему не верны остальные ответы), то мой совет - одумайтесь.
Это уже критика) Мне просто показалось, что мы ответили на все дополнительные вопросы, и я хотел намекнуть, чтобы ты подкинул нам еще несколько)
хм, а я не заметил, когда вы успели ответить на мой пока что единственный дополнительный вопрос (то есть при условии, что MC выходят из одной точки). какой ответ-то хоть: всегда ли найдётся?
Если у первого завода асимптота на уровне MC=5 ,а оба MC исходят из единицы, при этом у второго завода очень крутая MC, то мы будем совмещать производство только при малых Q,если при этом безвозвратные издержки открытия второго завода очень велики, значит никогда не окупятся, значит мы его не откроем, а значит, вероятно, ответ - нет?
Прости, я невнимательно прочитал твоё объяснение выше. Впрочем, там не написано, что MC одного из заводов идёт круто вверх. А теперь всё ок.
Тогда, раз уж ты хочешь, задам дополнительный вопрос:) Как обычно, вводим более строгие условия (так, чтобы старые контрпримеры не подходили).
Пусть MC всех заводов выходят из одной точки, строго возрастают и имеют одинаковую горизонтальную асимптоту (то есть имеют конечные и одинаковые пределы при $Q\to+\infty$); обязательно ли тогда найдётся такое Q, что фирма, производя его, будет использовать несколько заводов?
"Да", тут уже моё объяснение работает.
Попробую снова не согласиться с ответом "да".
deadline.jpg
Значит, пусть снова безвозвратные издержки построения второго завода очень велики.
График предельных затрат показывает, что существенно сэкономить мы сможем только сумму эквивалентную площади желтой фигуры, да и то за вычетом еще какой-то площади, а далее $MC_2 $и $MC_1$ оба практически равны своему пределу, поэтому нам практически* всё равно, где производить, экономия будет предельно малой величиной. Чисто математически можно сделать так, что экономия будет лежать в окрестности нуля, поэтому построение второго завода может снова не окупиться.
*Дан, ты наверно скажешь, что если выпуск стремится к бесконечности, то и экономия от совмещения стремится к бесконечности, несмотря на то что "предельная экономия" стремится к нулю, на мой взгляд тут экономия будет носить характер конечной бесконечности, на подобие того как $$1/2+1/4+1/8+1/16...= 1$$ , поэтому при некоторых $FC_2$ второй завод строить будет нецелесообразно.
Что такое жёлтая фигура?
Чтобы говорить о величине экономии от двух заводов, полезно было бы чётко показать её на графике: вот эта площадь - издержки при двух заводах, вот эта - при одном, а разница между ними - величина экономии. А потом уж выяснять, конечная она или бесконечная.
То, что "на твой взгляд" экономия конечна, неубедительно: помимо сходящихся рядов типа того, что ты привёл, бывают и расходящиеся: $\frac11+\frac12+\frac13+...=+\infty$ (сходимость таких рядов можно на глазок проверять в excel'e, просто протянув за ячейку).
"Чисто математически можно сделать так, что экономия будет лежать в окрестности нуля, поэтому построение второго завода может снова не окупиться" - сделай, тогда и посмотрим. А пока это шарлатанство какое-то.
Я к сожалению не умею достойно оперировать такими величинами, но например если MC2 всегда лежит в окрестности точки 5, кроме окрестности Q=0(там пусть MC стремится к вертикальной прямой), так как они по условию выходят из одной точки,(такое возможно, с учетом возрастания?) а MC1, ну, например такое же как на рисунке. То при выборе, где производить бесконечную единицу продукции, нам будет все равно, на первом за "пять", или на втором за "пять". Ну раз на каком то этапе нам всё равно где производить, значит экономия конечна.)
Наверно, с математической точки зрения то, что я написал абсурд, но совместными усилиями мы, надеюсь, придем к взаимопониманию)
т.к. MC(Q) стремится к пяти при $Q\to +\infty$, то какую окрестность пяти не возьми, найдётся такое $Q_0$, что при $Q>Q_0$ MC(Q) будет лежать в этой окрестности пяти - это просто определение предела.

Если одна MC всё время ниже другой MC, то даже если обе они стремятся к пяти, произвести некоторое Q на первом заводе дешевле, чем то же Q на втором заводе, причём суммарная разница (ну или экономия) увеличивается при росте Q - это понятно? Вопрос лишь в том, увеличивается она неограниченно или же имеет предел. Вообще говоря, может быть и так и так. Если ты хочешь доказать "нет", то тебе достаточно привести пример, когда экономия ограничена.

Выше я написал "на одном заводе" и "на другом заводе", но нам-то надо сравнивать "на одном заводе" и на "двух заводах". И я всё же рекомендую проделать то, что я написал в предыдущем посте - показать на графике точно величину экономии при каком-нибудь Q

Мы с Тимуром сошлись на версии, что ответ - нет =)
:(