Ты должен бы бороться со злом, а не примкнуть к нему.

Многие люди при просмотре III эпизода Звездных Войн удивляются почему во время дуэли Дарта Вейдера и Оби-Вана Кеноби на Мустафаре никто из участников не воспользовался силой, чтобы столкнуть противника в лаву. В этой задаче мы попытаемся на этот вопрос ответить.

Предположим, что Вейдер и Кеноби стоят друг на против друга и выбирают - использовать силу или не использовать. Если один использует, а другой нет - первый падает и с вероятностью 1/2 выживают, а второй остается на своем месте. Если оба используют, то они отлетают и с вероятностью 1/2 выживают. Если никто не используют - ничего не происходит.

(а) Оценим полезность каждого. Если обладатель силы погибает, то его полезность равна -20, если выживает $0$. Поражение при живом оппоненте дает -10 очков полезности. Победа дает 10 очков. Найдите равновесие по Нэшу в чистых стратегиях, если они одновременно выбирают стратегии. Найдите эффективность по Парето.

(б) Теперь предположим, что полезность и вероятность еще зависит от двух параметров - умение владеть силой ($\alpha$) и световым мечом ($\beta$). У каждого из участников сражения эти параметры различны и если его столкнули, то выживет он с вероятностью $\alpha$ и если они оба выжили (либо не упали), то полезность каждого будет $\beta_{своя} - \beta_{оппонента}$. Найдите равновесие по Нэшу в чистых стратегиях, если они одновременно выбирают стратегии.