Темы
Свойства
Сложность
Автор
31.01.2021, 00:39
Агрегированная полезность жителей от потребления данных товаров в каждом регионе задается следующей функцией:
$$U_{i} (x_{i},y_{i})=ln(x_{i}) + ln(y_{i})$$
Но производственные возможности в каждом регионе отличаются. Они задаются следующим образом:
Номер региона - его кривая производственных возможностей
1. $x_{1}+y_{1}=1$
2. $2x_{2}+y_{2}=2$
3. $3x_{3}+y_{3}=3$
4. $4x_{4}+y_{4}=4$
…
N. $Nx_{N}+y_{N}=N$
Пусть $P=\frac{P_{x}}{P_{y}}$. Найдите равновесную цену $P^{*}(N)$, которая установится в ходе свободной торговли между регионами. Считайте, что в равновесной ситуации каждый из регионов продает на рынке только один из товаров (если какому-то региону безразлично продавать при установившейся цене $x$, то он не продает его), а также то, что всегда найдется такое число регионов ($N$), которое удовлетворяет данному условию.
Комментарии
Разберем 3 случая - P = M (это значит, что M-ный регион ничего не торгует), PM;
Первый случай:
$КТВ_{1-(1-M)} = P - P*X$
$КТВ_{(M+1)-N} = i - P*X$
$U_{1-(M-1)}$ = ln(X)+ln(P-P*X) -> max
$U_{(M+1)-N} = ln(X) +ln(i-P*X)->max$
Промаксимизируем по X и получим:
$X_{s} = 0.5(P-1) $
$X_{d} = (M-P)*(M+1+P)/4P$
Приравниваем и получаем P = $(1+sqrt(1+12N+12N^2))/6,$ НО, у нас условие P=M. Если мы это подставим, то получим M= $0$, M = $1$, что нам не подходит
Второй случай:
Абсолютно тоже самое, но $X_{s} = 0.5P$
Приравниваем и получаем P = $(-1 + sqrt(1+12N+12N^2))/6.$
Заметим, что тут P < M при любых положительных M. Значит, третий случай рассматривать не нужно.