Спрос на продукцию монополиста задан функцией $Q_{d}=2000-2P_{d}$, а его издержки $TC=10Q$.
Государство решает поддержать потребителя и вводит потоварную субсидию по следующему принципу:
За каждую проданную штуку с 1000 по 1020, монополист получит $S$.
За каждую проданную штуку с 1020 по 1040, монополист получит $2S$.
За каждую проданную штуку с 1040 по 1060, монополист получит $3S$ и т.д.
....
За каждую проданную штуку с 1980 по 2000, монополист получит $50S$ .

Найдите минимальное значение $S$, при котором монополист воспользуется субсидией и объём выпуска, который он выберет. (если монополисту безразлично - он выбирает наибольшее $Q$)

Комментарии

Пытался решать аналитически и пришел к интересной функции прибыли:
$Pr=490000+10(n^2+n)(S-20)$
где $S$ - ставка субсидии, $n$ - количество товара сверх 1000 в "двадцатках", т.е. $q=1000 + 20n$

Получается, что при $S=20$ фирма получит прибыль $490000$ вне зависимости от значения $n$, в то время как в случае отказа от субсидии и производстве оптимальных $q=990$ прибыль равна $490050$, т.е. выгоднее от субсидии отказаться.

Прибыль при $q=1990$ и $S=20$ в размере $490000$ подтверждается самыми тривиальными расчетами:
издержки - $19900$
выручка - $1990(1000-995)=9950$
расходы на субсидию - $20S(1+n)*n/2=499950$ (при $n=49,5$)

Отсюда прибыль это $9950+499950-19900=490000$

В то же время можно заметить, что функция прибыли возрастает по $n$, то есть выгодно выбрать его максимальное возможное значение, т.е. $n=50$

В таком случае $Pr=25500(S-20)+490000$ и она больше либо равна $490050$ при $S\ge20\frac{1}{510}$

В чем ошибка при такой логике?

чему у тебя равно n, если q=990?
Находил его через обычную задачу монополиста. А для n тут должно быть ограничение от единицы до 50 включительно, что следует из условия задачи, так как только при q>1000 начинает работать субсидия (при q=990 n отрицательно, см. уравнение в самом начале)
мой косяк. при q=1990 ты, вроде как, неправильно прибыль посчитал, и при s=20 фирма может получить прибыль с 50 на конце, если она произведет 990+20k, k-целое число.
Расходы на субсидию при $q=1990$ составят $20*(49*50/2)*S+50*10*S=25.000S$, при $S=20$ составят $500.000$, а не $499.950$.
Формула прибыли не совсем верна для нецелых $n$.
Точно!
Это можно как-то задать аналитически в виде зависимости расходов на субсидию от n (или q)?
Да, но с помощью целой и доброй части. Например, расходы на субсидию составят: $20S*([n])([n]+1)/2+20${n}$*([n]+1) *S$.
Попробуйте графически!)
Спасибо!