Задача

В олимпиадах

Заключительный этап ВОШ — 2008

Баллы

14

Темы

Сложность

7.5
Средняя: 7.5 (4 оценок)

Автор

05.05.2008, 00:26 (Данил Фёдоровых)
07.02.2016, 23:04

На рисунке представлены графики предельных (MC) и средних (АС) издержек фирмы-монополиста. А также график спроса на его продукцию (D).

Определите, какой объем выпуска должна выбрать фирма, чтобы максимизировать прибыль (минимизировать убытки)? Восстановите уравнение кривой спроса.

Комментарии

Супер задача
Валерий
У меня почему то рисунок не открывается (я месяц назад заходил та же фигня была). Это только у меня так или может его можно как то перезагрузить?
Тоже не открывается, просьба исправить.)
Точнее просит:)
А пока Данил не успел исправить глюк, попробуйте по названию и решению понять, как устроено множество всех рисунков, совместимых этим решением! А потом проверите, что оригинальный рисунок попал в ваше множество:)
Честно говоря хотелось бы попробовать решить задачу самому, а так я то решение уже увижу, будет не так интересно решать :)
Надеюсь, никто не против, что я выложу картинку.(Эта та картинка, насколько я понимаю, вроде Всерос 2008)
Spros_kasaetsa.jpg
Да, это та самая картинка. Спасибо Араик
Можно было и без MR, просто уравнение касательной написать.
У меня сложность с составлением уравнения касательной ,ведь x0=$\frac{200}{26}$ ? Или я уже на этом этапе ошибаюсь?
Можно вообще без уравнения касательной помому.
Просто берешь $AC$ приравниваешь к $P(Q)$ и в квадратном уравнении решаешь обычное $D=0$.Вроде когда так решал все сошлось.
Зачем здесь уравнение касательной?) Почему никто не любит производную?))
Надеюсь, что для вас очевидно, что $Q^{*}=4$. Далее можно двумя способами (хотя по сути это один и тот же, просто по-разному записанный).

1) Если у нас есть две функции (монотонные, дифференцируемые бла-бла-бла), то их касание задается 2-мя условиями: $$\begin{cases}P_{d}(Q^{*})=AC(Q^{*}),\text{} \\ (P_{d})'(Q^{*})=(AC)'(Q^{*}),\text{}\end{cases}$$
В нашем случае: $$\begin{cases}a-4b=26,\text{} \\ -b=-6,\text{}\end{cases}$$

2) Если наш оптимальный выпуск равен 4, то пересечение $MR$ и $MC$ будет иметь место при $Q^{*}=4$, значит $a-2\cdot 2 \cdot b=0.5\cdot 4$, откуда получаем $b=\frac{a-2}{8}$, далее подставляет это дело в уравнение спроса, что в итоге приводит нас к: $a-\frac{a-2}{8}Q=26,Q=4$, откуда получаем долгожданное уравнение спроса))

ну впринципе то спорим об одном и том же)), (про касательную первое что пришло в голову)просто при касательной и значение функции известно в точке, и производную и так искать. Одна строчка.
В принципе, да)) Но тогда уж лучше вторым способом делать, он более экономический вроде))
Да согласен), выразил-подставил.
AC=$\frac{200}{Q}$
P=$\frac{a}{b}$-$\frac{Q}{b}$
приравниваем
Q2-aQ+200b

D=0
a2=800b
и что дальше?

почему АС имеет такой вид??
Иван посмотри решение, AC неправильно вывел.
откуда FC = 100 В решении?
ой всё поняла простите
А почему функция спроса задается видом Q=50 - 6P, а не Q=160 - 6P. Угловой коэффициент я также находил через производную от Q, только в моем решении есть доля геометрического смысла... А вот с консантой (a) наши пути расходятся.
По-моему, Q = a - bP: b = 6 есть пара {4;26} => 4 = a - 6*26=> a = 160 а в официальном решении a = 50.Догадываюсь что все дело в обратности функции.Но до конца не пойму почему так получается.
P.S. Черт бы побрал тех кто совместил теорию Вальраса и теорию Маршалла в одну.
Ну вообще с прямой функцией спроса $Q(P)=a-bP$ здесь сложно работать, т.к. оси не для неё, у нас же $P$ - ордината, $Q$ - абсцисса, поэтому логичнее рассматривать функцию спроса $P(Q)=a-bQ$
Логичнее или правильнее использовать P(Q)?
И если я не ошибаюсь или точнее если математика не врет, с осями {P;Q} функция Q(P) обратная...??
Да, так и есть!

Постараюсь объяснить понятнее. В таких осях у нас $P'(Q)=-6$, а не $Q'(P)=-6$, поэтому будет лучше рассматривать функцию $P(Q)$.

И логичнее и правильнее, т.к. $Q'(P)=-\frac{1}{6}$, а с дробями работать затруднительно.

Спасибо.
Кроме того здесь оси $(Q;P)$