Пусть функции выручки и издержек дифференцируемы в любой точке.
Верно ли утверждение:
- Если $MR(Q_{0} )=MC(Q_{0} )$, то в точке $Q_{0} $ прибыль максимальна.
- Если в точке $Q_{0} $ прибыль максимальна, то $MR(Q_{0} )=MC(Q_{0} )$.
Если Вы считаете оба этих утверждения неверными, напишите какое-нибудь верное утверждение, содержащее фразы «$MR(Q_{0} )=MC(Q_{0} )$» и «в точке $Q_{0} $ прибыль максимальна».
Комментарии
Ну а в нуле, если я не ошибаюсь, MR с MC вообще не определены.
А верное утверждение такое: "MR($Q_0$)=MC($Q_0$) в точке, где их графики пересекаются, а $Q_0$ — точка локального максимума прибыли, когда при $Q_0$ прибыль максимальна".
Я не совсем понял, чего от меня хотел автор задачи в последнем вопросе, если честно. Таких тривиальных утверждений можно настругать горы.
Другой вопрос: везде ли функция прибыли имеет производную, ведь не всегда условие определения локального (или даже глобального) максимума/минимума в точке $x_0$ сводиться к приравниванию производной функции к нулю.
Для Вашего же примера выше (с модулем) производная действительно в точке $Q=5$ не существует, но тем не менее это глобальный максимум!
Насчет глобальный = локальный, не совсем верно, тут тонкий аспект есть, который я понимаю следующим образом: пусть $x_{01}$ - точка, скажем, локального максимума, тогда выполняется следующее условие: $\forall x \in (x-\varepsilon;x+\varepsilon) \quad f(x)\leq f(x_{01})$, то есть в своей окрестности эта точка имеет наибольшее значение,
что качается глобального максимума, он может достигаться на одном из краев, рассматриваемого промежутка $[a;b]$, тогда одной из окрестностей нашего глобального максимума просто-напросто не будет!
А чем вам функция P=-|Q-5|+6 не угодила? Нормальная функция MC, например, просто записана в обратном виде.
А зачем мы вообще работаем с производными? Послушаем Оккама, не будем вводить лишних сущностей. Тем более, что она ничего, кроме путаницы в задачу не приносит.
Точка $Q_0$ называется точкой локального максимума функции прибыли, если существует окрестность точки $Q_0$, такая что в любой точке из пересечения этой окрестности с множеством доступных объёмов выпуска значение прибыли не больше, чем в $Q_0$.
Из этого определения следует, что точка глобального максимума является и точкой локального максимума. В частности, если выгоднее производить Q=0, чем любой положительный выпуск, то точка Q=0 является точкой локального максимума.
Давайте договоримся считать, что MR и MC могут быть определены в нуле, несмотря на то что ноль не является внутренней точкой области определения TR и TC (то есть такой, что существует окрестность этой точки, являющаяся подмножеством области определения; иными словами, мы можем сдвинуться чуть-чуть (сколь угодно близко) влево и чуть-чуть вправо от нашей точки, оставаясь всё ещё в области определения). Просто MR(0) и MC(0) мы будем определять как правостороннюю производную (то есть $\lim \limits_{\Delta x \to 0}\frac {f(x)-f(0)}{\Delta x}$, где $\Delta x>0$ - в отличие от определения обычной производной, где $\Delta x$ может быть любого знака). Тогда, например, если MR=10-Q, а MC=11+Q, то мы можем сказать, что 0 - оптимальная точка, причём $MR(0)\ne MC(0)$