Существует ли такая функция полезности, определённая на множестве всех наборов (x,y) с неотрицательными координатами, что все кривые безразличия имеют постоянный наклон, но хотя бы у двух кривых безразличия наклоны не совпадают?

Комментарии

Название в точку.)
Можно вопрос?
Название пьяные СУБСТИТУТЫ оно относится к условию задачи?. А то я не могу выйти из рамок, что субституты это линии с наклоном -1, т.е. цены одинаковые. И вообще разве это субституты если наклон больше или меньше -1?
Значит у какого-то набора цена больше\меньше другой.
Алексей, понятие товаров — совершенных субститутов не предполагает вообще разговора о ценах: это свойство предпочтений потребителя. Цены нужно знать, только чтобы определить, какой выбор будет для потребителя оптимальным.

Субституты это не линии, линии — это кривые безразличия. Если у них постоянный угол наклона, то товары являются совершенными субститутами. Угол наклона определяет пропорцию, в которой потребителю безразличен обмен между двумя товарами. Так, если вы вместо двух пирожков с вареньем всегда готовы съесть пирожок с мясом и получить то же удовольствие, то ваши кривые безразличия будут иметь наклон $-2$.

В этой задаче спрашивается, бывает ли такое, что при каком-то уровне полезности потребитель готов обменивать одно количество товара на единицу другого без ущерба для себя (всегда одинаковое для данного уровня полезности), а при другом уровне полезности — другое (но тоже одинаковое).

Нууу как сказать, что цены здесь не нужны.Наверно я это сказал чтобы лучше поняли а получилось...
Данил я упомянул цены только для того,чтобы показать наклон линий.) Ну я написал что наклон равен
-1 ,конечно это тоже правильно,но не обязательно мне быть таким уж конкретным.) Да тогда мой прошлый комментарий полное непонимание задания.)
Может быть решение этой задачи связано с разновидностью товаров.Говорю о товарах низшей категории и нормальных товарах. Если так, то намекните, а если нет буду дальше думать.))
Честно говоря, я не понял ничего из того, что вы написали до слов «может быть». Извините.
О каких линиях идет речь? При чем тут цены и наклон $-1$?
Я конкретизировался, что наклон равен -1, хотя (как вы написали) он может быть -2, -3 и т.д.
Причем здесь цены? Просто для того, чтобы показать как я искал этот самый наклон.
Какие линии? Кривые безразличия.
Извините, буду писать понятнее.
Какое отношение имеют цены к наклону кривых безразличия? Я вам пытался объяснить, что никакого. Цены на свойства предпочтений здесь не влияют.
Извиняюсь.Что-то я с бюджетной линией спутал.)
Ну а разве месторасположение кривой безразличия не зависит от бюджетной линии?
Кривых безразличия — бесконечно много. На одной из них лежит та самая точка (те самые точки), которую выберет потребитель для максимизации собственной полезности, и выбор этой точки будет зависеть от положения бюджетной линии. Но в Гришиной задаче об оптимальном выборе потребителя нет ни слова, но говорится только о структуре предпочтений. Следовательно, бюджетное ограничение здесь ни при чем.
Данил, прозвучавшие на этом форуме идее неверные?
Я мало что понял, честно говоря, из вашей дискуссии. Но похоже, что никакие из высказанных идей (если не считать комментарий Тимура Аббясова, а его мы считать не будем) в решении задачи, на мой взгляд, никак не помогают.
Насколько я понимаю, кривые безразличия и их положение зависит от предпочтений потребителя. Если какой-то товар приносит вам полезность, то цена этого товара влияет только на количество этого товара, которое вы можете себе позволить, если цена товара повышается, то изменения происходят с вашим бюджетным ограничением, а не с кривой безразличия. А если под местоположением кривой безразличия ты понимаешь его отдаленность от начала координат, то оно зависит от полезности наборов товаров, принадлежащих этой кривой безразличия. Чем дальше кривая безразличия от начала координат, тем большей полезностью она характеризуется(если товар не является антиблагом, выполняется аксиома о ненасыщении), если я правильно помню теорию потребления))
Да вы помните правильно.)
Кривые безразличия и их положеия зависит от предпочтений потребителя,конечно.А точнее сказать от монотонной функции.Это видно на графике.Чем выше тем лучше - безусловно.
При чем тут именно монотонная функция и почему упоминание ее точнее, чем упоминание предпочтений? Про «чем выше тем лучше» — см. мой комментарий ниже (он лучше вашего, хоть и ниже).
Всё верно, но с отдаленностью от начала координат есть нюанс: для этого все потребляемые товары всюду должны быть благами, то есть общая полезность должна расти при увеличении их потребления. Если вы рассматриваете кривые безразличия в плоскости, где по одной оси гамбургеры, а по другой кола, то наверняка найдется такой уровень их потребления, при котором потребителю не станет лучше, если он съест еще один гамбургер и запьет еще одним стаканом колы. Значит, более высокая (здесь — проходящая дальше от начала координат) кривая безразличия будет означать более низкий уровень полезности.
Исправил свой предыдущий коммент.
"Значит, более высокая (здесь — проходящая дальше от начала координат) кривая безразличия будет означать более высокий уровень полезности." Вы наверное имели в виду более низкий уровень полезности, или я чего-то не понял?
Может это связано с насыщаемостью? Т е вот два товара субститута для голодного и жаждущего человека: вода и еда. Сначала он готов меняться в отношении 1 порция воды = 1 порция еды. Ему все равно с чего начинать. Он потребляет воду и пищу, постепенно переползая на более высокий уровень полезности. Затем, достаточно быстро утоляя жажду и скушав определенное кол-во порций еды, он уже не хочет пить так как раньше (конечно голод так же уже не такой, однако его больше чем жажды). И теперь для нашего героя уже еда становится дороже, и он готов отказаться от двух порций воды, взамен на одну порцию еды. Может как-то так?
интересная теория.)что-то не додумал до этого))
Алексей, мне тоже понравилась ваша гипотеза про товары разных категорий. Однако у меня возникает вопрос: А могут ли быть товары разных классов (низкокачественные и нормальные) - товарами субститутами? Красная икра - хлеб?. Феррари - копейка? Или это уже идет разница в потребительских качествах и поэтому могут быть названы так только с большими оговорками?
Ну вообще-то может быть вы и правы, но если у меня наклон -50, -100,- 1000000? Тогда что? Тогда моя гипотеза тоже может быть верной.Даже без больших оговорок.)
Множество кривых безразличия должно "покрывать" множество всех наборов (x,y) с неотрицательными координатами, при этом кривые безразличия не должны пересекаться. Ты уверен, что прямыми трех различных наклонов сможешь заполнить всю первую координатную четверть, чтобы различные прямые не пересекались?
Тимур припоминаю твою задачу про пирата.И там ты тоже говорил, что нужно "покрывать" всю область.) Может быть на графике я не вижу такую особую часть где и кроется вся разгадка?))
Ну а касаясь этой задачи, я могу привести много разных наклонов.
Вы имели в виду, что можете привести пример такой функции полезности, у которой кривые безразличия линейные, но с разными наклонами? Ну так приведите. Если окажетесь правы, это и будет решением.
Пример связан с чипсами , колой и футболом))).(отнеситесь к примеру снисходительно)
Пускай вначале мне хотелось пить, но не хотелось чипсов.Чипсы - 1, кола - 2. Купил колу.Уталил жажду .Дальше мне захотелось чипсов.Чипсы - 2, кола - 1. Купил чипсов.Но не утолил "голод".Купил еще.
Чипсы - 2, кола - 1.Уталил "голод".
Надо бы еще подумать.... над примерами.
Цифры 1 и 2 это приписывание функции полезности.
Сожалею, но ваш пример не заслуживает ни малейшего снисхождения.

Во-первых, вы не предъявили функцию полезности, а только дали какое-то абстрактное описание предпочтений. Обратите внимание, что не все предпочтения можно описать функцией полезности.

Во-вторых, ваше описание вызывает вопрос: а не меняются ли сами предпочтения агента во времени? Если меняются, то пример некорректен.

Ну и наконец, совершенно непонятно, почему вам кажется, что в вашем примере кола и чипсы — субституты. Похоже, что они скорее комплементы, то есть важна пропорция, в которой они потребляются друг с другом, а не (нужная нам для субститутов) пропорция, в которой потребитель был бы готов менять одно благо на другое без ущерба для полезности.

Да, конечно, не для всех, потому что бывают люди у которых предпочтения не транзитивны.)
Хорошо, ну а если допустим я припишу численные значения.(т.е. предъявлю функцию полезности).
Поменял свой комментарий.см.выше.
Конечно это мало что меняет, но один пунктик в вашем сообщении можно убрать.)
Алексей, к сожалению, мне кажется, что вы настолько ничего не понимаете в теории поведения потребителя, что мои попытки говорить здесь что-то бесперспективны. Судя по последнему комментарию, вы не знаете, что такое функция полезности и, кроме того, даже не старались понять, что я вам написал после слов «ну и наконец». (Впрочем, на ваше счастье, вся теория поведения потребителя в этом году исключена из программы олимпиад.)

Извините, но, может быть, вы что-нибудь почитаете, прежде чем вести дискуссию, и будете писать комментарии более осмысленно? Сравнительным преимуществом в ликвидации вашей безграмотности и незнания основ в данном случае обладаете вы, а не я и коллеги — у нас альтернативная стоимость больше. Если будут какие-то вопросы после изучения материала, мы поможем вам разобраться с ними. Но пока что создается впечатление, что вы пытаетесь обсуждать проблемы, не приложив усилий для того, чтобы разобраться хотя бы в их сути.

В качестве бонуса — вот вам определение функции полезности из учебника Вэриана:

Функция полезности — это такой способ приписывания каждому возможному потребительскому набору некоего численного значения, при котором более предпочитаемым наборам приписываются большие численные значения, чем менее предпочитаемым.

Как бы вам так сказать, что облили с ног до головы понятно..
Я старался понять , а вы.И это определение... перед тем как писать свое сообщение не раз прочитал.
Алексей, Вы не обижайтесь в любом случае!
У меня многие Ваши комментарии тоже вызывают недоумение: часто я либо вообще не понимаю Ваши мысли, либо нахожу их неуместными или очевидно ложными (удивляясь, как такое можно было написать, прочитав соответствующую главу Вэриана). По всей видимости, Вы искренне стараетесь разобраться, но у Вас не получается, и вместо чёткой картины происходящего Вы имеете сумбур. Я бы на Вашем месте сделал следующее:
1) на время отложил экономику и позанимался математикой, чтобы натренировать чёткость мышления. В математике всё формализовано, каждое слово имеет чёткий смысл, и там гораздо легче осознать, понимаете Вы материал, или нет, и если не понимаете, то что именно. (В экономике на том уровне, на котором мы её обсуждаем, степень формализации низкая, поэтому легко оказаться в ситуации, когда Вам кажется, что Вы поняли главу Вэриана, а на самом деле не поняли). Возьмите учебник геометрии, почитайте доказательства теорем оттуда, попробуйте доказывать их самостоятельно и сверять с учебником, а также решать задачи. Думаю, Вам может быть очень полезно позаниматься индивидуально с учителем математики.
2) Старался бы не писать на сайте до тех пор, пока не натренирую чёткость мышления. От того, как проходят обсуждения сейчас, думаю, для Вас мало толку (например, обсуждение "Вопрос про измерение валового спроса и начального запаса товара" так и не сдвинуло Ваше понимание с места). Понять, когда Вы достигнете нужного уровня чёткости, очень просто: если, перечитав свои старые записи, Вы воскликнете "Ёпрст! Неужели это я написал такую бредятину?!", то стоит попробовать возобновить активность на сайте:)

Я готов продолжить этот разговор в личной переписке.

Спасибо, Григорий за советы; я так и поступлю. Спасибо, Данил за объяснения и критику.Она всегда и везде нужна.)
Эм:) немного не понял вашу идею)я не отрицаю достоверность вашей гипотезы, я просто имею ввиду то, что в задаче (по крайней мере в названии) сформулировано условие субститутов и пытаюсь выяснить, могут ли быть причислены товары разных классов к товарам субститутам.
К совершенным субститутам могут быть причислены все пары товаров, для которых пропорция обмена, не изменяющего уровень полезности потребителя, постоянна для любого уровня полезности (вдоль каждой кривой безразличия).
У меня с объяснениями туго).
Я думаю, что да. Попробую доказать это. Например копейка стоит 20000 тыс руб феррари 20000000, тогда наклон равен -1000.(данные брал примерные, ну не знаю их точных цен). Значит вы можете обменять 1 феррари на 1000 копеек.( интересный пример, но возможный) дальше 2 феррари на 40000 копеек.
Алексей, похоже, что вы говорите о наклонах бюджетных ограничений, а не кривых безразличия. Наклон бюджетного ограничения никак не влияет на то, являются товары субститутами или чем-то еще, потому что он не влияет на свойства предпочтений потребителя — собственно, я выше это уже пытался объяснить.
неет:) вы меня не поняли.. Я говорю что речь, как я понял, ведется в задаче о субститутах.. Просто феррари и копейка, несмотря на то, что предназначены для езды, обладают помимо того (точнее феррари обладает) целым рядом потребительских свойств и поэтому сколько бы мы копеек не купили, заменить одну феррари они не смогут. (ну хотя бы например скорость в связи с двигателем более мощным, GPS, понты:), ведь о тебе создадутся разные впечатления - либо ты приедешь на одной феррари (все удивятся, типо "ооо, как круто":))) или на нескольких копейках (не важно каким образом, и сколько для этого надо ног и рук:) (все просто удивятся что типо богатый:) . Ну а мнение общества тоже в какой то степени влияет на твою совокупную полезность (согласитесь?). Поэтому, может быть, феррари предоставляет потребительские качества, которые копейка предоставить не может.
Ладно ну а что вы скажете в оправдании икры и хлеба?Мне очень интересно.)
Что икра вкуснее а хлеб менее вкуснее.Нет.Понты типа, что у меня есть на столе икра, а у тебя нет.Нет
Цена здесь зависит от производства этих товаров. Как я думаю и от ограниченности ресурсов.
Хотя вот то,что вы все написали ,я не уверен что экономика это изучает.Например, понты.
Я тоже не уверен на счет "понтов" (ну или от того, что тебе становится приятнее, когда люди о тебе думают лучше), но: 1) экономика не закончила развиваться. 2) я знаю лишь ооооооооочень маленькую часть экономики.
На счет икры все банальнее, я конечно не биолог, но могу предположить, что икрой сыт не будешь: она не дает (впринципе как и хлеб) всех веществ полезных для организма, однако на хлебе жили люди:)
Экономическая наука изучает и понты, и всё остальное.
1)Евгений кто же будущий экономист и кто это все исправит.Подсказка фамилия Коновалов))
2)Тут нам все равно нужна оценка экономистов.
Солгасен, что мы рассматриваем с точки зрения экономики, однако биология наводит на мысль, что рациональный потребитель согласится есть не во вред себе, а значит экспериментировать на одной икре он будет врятли:) скорее он согласится есть один хлеб.. проблем в том, что ни хлеб, ни икра в полной мере не могут заменить потребительские качества (состав углеводов, белков, жиров ну и еще чего-то там:D) друг друга:) поэтому не знаю, корректно ли их называть субститутами.
Ну а если у меня цель не есть эти товары а в дальнейшем перепродавать?
Получается ты не потребитель, а уже продавец, только покупатель ресурсов, и поэтому рассмотрение данного случая выходит за рамки рассмотрения полезности:) (на сколько я понимаю эту тему)
Какая разница.Я их купил т.е. я их потребил, а что там дальше делаю - все равно.
Всем: коллеги, если вы ничего не знаете о теории полезности и плохо понимаете, что такое совершенные субституты, вряд ли вам стоит пытаться решить эту задачу. Знания только значения слова субституты (полученного, например, из обсуждения неценовых факторов спроса) тут недостаточно.
И еще. Если для кого-то это неочевидно, то обратите внимание, что если вопрос задан в форме «существует ли…», то ответом должен быть либо пример, либо доказательство невозможности.
Может быть тогда так: если в условии задачи сказано, что "все кривые безразличия имеют постоянный наклон" - это говорит о том, что рассматриваются товары совершенные субституты. Тогда кривые безразличия будут выглядеть, как прямые, параллельные друг другу. Но если вдруг (предположим) предпочтения (каким-то непонятным образом) изменятся при каком-то уровне полезности, то наклон этих кривых безразличия изменится. Но так как в задаче требуется функция, определенная на множестве всех наборов (x,y) с неотрицательными координатами (а это означает, что каждая точка должна принадлежать какой-то кривой безразличия, причем только одной), то новая кривая безразличия пересечет предыдущую в какой-то точке, причем обязательно.01022011623.jpg
Если я правильно понимаю, то в промежуток от X(a) и X(b) входит множество значений х, каждому из которых должно соответствовать множество значение y, а значит новая (старая) кривая безразличия должна сдвинуться параллельно себе вниз и влево (вправо и вверх) и таким образом, точек пересечения кривых безразличия отражающих новые и старые предпочтения может быть больше чем одна (но как минимум одна всегда будет), поэтому этим точкам будут соответствовать разные уровни полезности, что противоречит самим условиям существования кривых безразличия. (Не знаю, как это точно сформулировать), но получается, что такой функции не существует.
P. S. Я правильно понимаю, что в промежуток K входит бесконечное множество параллельных кривых безразличия, отражающих старые предпочтения?
Вы близки. Но не совсем верный переход:
1) почему Вы решили, что только одна прямая имеет другой наклон и что переход происходит резко?
2) откуда Вы взяли существование самой верхней карандашной прямой?
Думайте дальше. По крайней мере, понимание того, что такое кривые безразличия, у Вас появилось

подсказка: нарисуйте треугольник и соедините каждую точку на стороне BC с вершиной А.

Может быть тогда так: если в условии задачи сказано, что "все кривые безразличия имеют постоянный наклон" - это говорит о том, что рассматриваются товары совершенные субституты. Тогда кривые безразличия будут выглядеть, как прямые, параллельные друг другу.

Если под совершенными субститутами понимать блага, такие что наклон кривой безразличия не меняется при движении по этой кривой, то второе из двух Ваших предложений не верно.
Если под совершенными субститутами понимать блага, такие что наклон кривой безразличия не только постоянный вдоль каждой кривой, но и совпадает у всех кривых, то неверным будет первое предложение.

Предпочтения, естественно, предполагаются неизменными, как и функция полезности, которая их представляет.

Я спросил у своего учителя математики. Он сказал отличную идею!! До этого я не понимал значение ваших замечаний, но честно пытался:) Вообщем функция такая оказывается существует, и далеко не одна:)! Пусть у нас сначала (до х0 и у0 - до, я имею ввиду что меньшие по этим осям значения, но большие нуля) будут параллельные прямые. Пусть в частном случае (нам же надо показать пример) х0=7, у0=8, тогда в этом пространстве функция будет задана y=b-$\frac{8}{7}$x , где b принадлежит промежутку (0;8] (от нуля - чтобы значения у были больше нуля, и до 8 потому что частный случайy, и мне так нравится:). Уравнение последней прямой (самой дальней и последней с данным коэффициентом) стоит прописать y=8-$\frac{8}{7}$x. Затем опишем функцию для пространства, где x>=x1=15,4 ,а y>=y1=11. Тут будет располагаться "семейство" параллельных прямых с угловым коэффициентом -$\frac{5}{7}$. То есть в общем виде данную функцию можно записать как y=t-$\frac{5}{7}$x , где t принадлежит [11;+бесконечности(не знаю как тут этот значок:D)) . Самая ближняя к началу координат прямая из этого "семейства" имеет уравнение y=11-$\frac{5}{7}$ . Теперь к чему это писалось: Данная прямая, с последней прямой из первого "семейства" пересекается во второй координатной четверти в точке (-7;16) (можете проверить, должно сойтись, потому что все числа подбирались именно для этого). С точки зрения экономики вторая координатная четверть нас не интересует, однако с точки зрения математики очень даже: как мне сказал учитель по математике, из этой точки выходит (интересует нас в сторону первой координатной четверти) пучок прямых. Сейчас стоит взглянуть на график: 01022011629.jpg

Теперь главное: Через точку (-7;16) и любую точку на оси y находящуюся в интервале (8;11) можно провести прямую. Причем это прямая не будет параллельна ни первому "семейству", ни второму и пересекаться с ними не будет, и соответственно в этом оставшемся пространстве между "семействами" каждая точка будет принадлежать только одной кривой безразличия (разумеется из этого пучка мы берем его часть, которая принадлежит первой четверти). Мне сказали, что такой пучок записывается в общей формуле так: a1x+b1y+c1+k(вообще лямпда, но я не знаю как тут лямпду сделать)*(a2x+b2y+c2)=0 . (Где a1x+b1y+c1=0 и a2x+b2y+c2=0 - уравнения прямых, ограничивающих пучок). Лямпда вроде как принимает разные значения (не знаю точно какие) и из за этого записывается все множество прямых, входящих в пучок. Таким образом для всех точек (x;y) определили свою кривую безразличия, причем каждая из них не меняет свой наклон, однако существует такие, у которых наклон разный.

верно, хотя можно использовать любое монотонное отображение из отрезка $[x_1;x_2]$ в отрезок$[y_1;y_2]$.
я такого не знаю, не могли бы вы пояснить? (чисто по интуиции вы задали область, там где пересекаются границы данных отрезков)
И еще вопрос:) а можно ли скопление этих параллельных прямых называть "семейством"? и как правильно это называется?
семейство - это не сушубонаучный термин, я, по крайней мере, такого не встречал, так что называйте пожалуйста :)
о чем я говорил :) берем любую монотонно возрастающую и непрерывную функцию, которая в соответствие каждому х на некотором отрезке ставит в соответствие у. далее соединяем прямой х и f(x). полученное семейство удовлетворяет условиям. кстати, если вы осознаете написанное, то легко решите гришин бонус-вопрос простым предельным переходом :)
К сожалению, что такое предельный переход, да еще простой:)))) я не знаю(. Но, видимо, идею Вашу понял! Бонус-вопрос решается например с помощью функции y=2x-1. Тогда каждое х соединяем с соответствующим ему у с помощью прямой. И тогда, действительно (!!!! спасибо!!!:) у нас получится множество кривых безразличия и ни у каких двух кривых безразличия наклоны не совпадают:02022011632.jpg
собственно Вы предельным переходом и воспользовались, сами того не осознавая. Ваши рассуждения применимы лишь для кокого-то ограниченного множества, но Вы утверждаете (и это верно!), что то же самое будет выполняться для любой, сколь угодно отдаленной точки.
Пример верный. О том, что для доказательства того, что не остается непокрытых точек надо подключать сложный аппарат, я написал ниже.
Но вот попробуйте доказать (тут Вам знаний хватит!), что через любую точку проходит ровно одна кривая безразличия.
Картинка хорошая. И из неё сразу видно, что Ваш пучок задаётся формулой $y=16+k(x+7)$, где $k\in[-{8\over7};-{5\over7}]$. Безо всяких страшных лямбд.

Если интересно, попробуйте в рамках данной задачи найти такую функцию полезности, чтобы ни у каких двух кривых безразличия наклоны не совпадали.

Я уже думал над этим, и перед тем как спрашивать у преподавателя была мыслишка про круг, часть которого как бы отсекается первой координатной четвертью). Однако для меня очень сложно понимать, что как бы все пространство , все точки будут принадлежать чему-нибудь (т е мне сложно поверить, что все точки, при как бы их кривом расположении между концами двух близких прямых, заполнены другими прямыми). Возможно, центр этого круга будет находится в бесконечности вверху по y и немного левее центра оси х (т. е смещен влево на несколько единиц) И радиус у этого круга - бесконечность:). (Спасибо за картинку:)
А разве у нас не будут точки, которые не окажутся ни на одной из кривых безразличия, появившихся из пучка?
Согласен, это сложно осознать, я тоже это долго не мог понять (может даже сейчас еще не понял до конца), но вот как это можно попробовать понять: представьте, что точка, из которой выходит пучок, является центром круга, а наш пучок - сектор этого круга. Ну ведь круг у нас полностью закрашенным является, так как по определению окружности - это набор всех точек, равноудаленных от центра, значит если мы представим, любую точку можно соединить с нашим "центром" и не будет ни одной точки, в пределах нашего пучка (да и вообще - ведь прямую можно провести через любые две точки), которая останется не принадлежащей какой-либо кривой безразличия. Посмотрите на рисунок:02022011631.jpg
Закрашенный сектор пучка демонстрирует, что не останется точек, не принадлежащих какой - либо кривой безразличия
это, конечно, плохое доказательство :)строгое опирается на знания, выходящие за знания школьной программы, и требует нетривиальных теорем из анализа.
Мы же уже знаем, что все прямые, проходящие через точку $(-7;16)$, задаются уравнением $y=16+k(x+7)$. Тогда для любой точки $(x;y)$, такой что $x\ne-7$, это уравнение разрешимо относительно k: $k=\frac{y-16}{x+7}$, причём решение единственно. Это значит, что через любую такую точку и точку $(-7;16)$ проходит прямая, причём только одна. Осталось только убедиться в том, что если взять $(x;y)$ в первой координатной четверти между двумя нашими граничными кривыми безразличия ($y=8-\frac87x$ и $y=11-\frac57x$), то k попадёт в нужный нам промежуток $[-\frac87;-\frac57]$, то есть эта прямая принадлежит нашему пучку.
кстати да, о таком доказательстве я что-то не подумал. я доказывал через уменьшающиеся области. в пределе и получалась нужная прямая.
:D Да, круто Григорий вы доказали:) а в бонус-вопросе не требуется доказывать, что там тоже каждая точка тоже принадлежит только одной кривой безразличия? (или это очевидно, просто и функции - я не знаю:)
Да, функция полезности, которую Вы строите, должна быть определена на любом наборе с неотрицательными координатами. Лучше всего это будет видно, если Вы выпишете эту функцию явно.
А нельзя просто вашу же функцию взять?

$U=y+8/7x$, при $y+8/7x <= 8$
$U=y+k(x+7)$, при остальных
k принадлежит $(-8/7; -5/7)$

Вступление: Ненавижу свой модем: один раз написал комментарий этот, инет слетел, нажал отправить , сайт выдал ошибку, потом инет включил - скопировать с комментария ничего не мог, пришлось обновлять страницу и весь комментарий стерся:(((. Придется все заново писать.
Теперь по существу: Гор, я немного не понял, не могли бы Вы объяснить? (я так понимаю U у вас принимает различные значения??).
Гриша попросил просто не для этой функции, а для функции y=2x-1. Тут я почти могу выразить саму функцию. Я так понимаю нам нужно найти уравнение прямой, к которой принадлежит точка с координатами (х;у). Сначала считаю нужным заметить: если мы проведем прямую, параллельную оси абсцисс (у=у), то чем выше она будет располагаться, тем будет больше (по модулю) наклон первой прямой, пересекающей ее. Первой будем считать ту, которая пересекает ее в точку х=0. Тогда мы можем посчитать угловой коэффициент этой первой прямой. k=$\frac{y}{log_2(y+1)}$ (если непонятно, то могу отписаться, просто я это в первом комментарии писал, сейчас уже не охото:). Тогда коэффициенты остальных прямых, пересекающих эту параллельную оси Ох прямую в первой координатной четверти, будут больше. Теперь основная часть: Мы на этой прямой пометим точку х (т е в итоге точка с координатами (х;у), опустим перпендикуляр на ось Ох. Совершенно очевидно, что данная точка принадлежит какой-либо кривой безразличия. Точку пересечения этой КРИВОЙ БЕЗРАЗЛИЧИЯ с осью Ох обозначим за t. Теперь из подобия треугольников: $\frac{t-x}{y}=\frac{t}{2^t-1}$. Дальше все перемножаем и переносим с t налево, без t - направо. Получаем t*2t-t-x*2t-t*y=-x. Это уравнение с одной переменной, поэтому в теории должно иметь решение, но я не могу решить (пробовал заменой, получается ноль). Если мы выразим t через x и y, то сможем найти угловой коэффициент кривой безразличия, к которой принадлежит данная точка. он будет равен k=-$\frac{2^t-1}{t}$. А если (так должно получиться) t имеет единственное решение в данном уравнении, то докажем то, что каждая точка принадлежит только одной кривой безразличия. Если же получится два t, то мы можем попробовать убрать остальные решения, используя условие (коэффициент больше либо равен коэффициенту первой прямой)
Все я понял свою ошибку)
:))) я не смог понять, ни Вашего предложения по решению, ни ошибки, которую Вы нашли, объясните пожалуйста:)))))
1- нужно было чтоб наклоны совсем не совпадали, а у меня они совпадают поначалу))
2- у меня не всю четверть накроет((
Из этого уравнения t, видимо, не выражается. То, что каждой точке (x,y) будет соответствовать ровно одно t, можно получить как следствие из общей теоремы:

Пусть f(t) – строго и неограниченно возрастающая непрерывная функция, такая что f(0)=0. Тогда для любой точки (x,y) с неотрицательными координатами, за исключением точки (0,0), существует, причём единственное t>0, такое что прямая, соединяющая точки (t,0) и (0,f(t)), проходит через точку (x,y).

Можете порешать упражнения:
а) Убедитесь, что Ваша функция $f(t)=2^t-1$ удовлетворяет условиям этой теоремы.
б) Предположим, что теорема верна. Как из неё следует существование функции полезности, отражающей наши предпочтения?
в) Приведите пример функции f(t), такой что наклон всех кривых безразличия одинаков.
г) Какое дополнительное условие нужно наложить на f(t), чтобы любая функция f(t), удовлетворяющая всем наложенным условиям, порождала (способом, найденным в пункте "б") функцию полезности, удовлетворяющую условиям задачи (определена на множестве всех наборов (x,y) с неотрицательными координатами; все кривые безразличия имеют постоянный наклон, но хотя бы у двух кривых безразличия наклоны не совпадают)?
д) Докажите теорему.

а) подходит:)
б) Получается, что для каждого набора двух товаров (х;у) - точка на плоскости - существует только одна своя кривая безразличия, причем это прямая, т е товары являются совершенными субститутами.
в) например F(t)=t, тогда все прямые, соединяющие t и F(t), будут иметь наклон 450. В общем виде мы можем задать F(t)=k*t , где k-положительное число.
г) нужно чтобы F'(t)=(не равно)const (не сильно уверен, что правильно написал, тогда более четкое условие, что производная этой функции должна либо убывать (но оставаться большей нуля), либо возрастать, либо возрастать - убывать:))) То есть производная этой функции должна иметь различные значения хотя бы в двух точках.
д) пока не додумал)