Существует ли такая функция полезности, определённая на множестве всех наборов (x,y) с неотрицательными координатами, что все кривые безразличия имеют постоянный наклон, но хотя бы у двух кривых безразличия наклоны не совпадают?
Пьяные субституты
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ поддерживает сайт с 2010 года
По вопросам сотрудничества — ile@iloveeconomics.ru
Политика обработки персональных данных
АНО «Ай Лав Экономикс»
Комментарии
Название пьяные СУБСТИТУТЫ оно относится к условию задачи?. А то я не могу выйти из рамок, что субституты это линии с наклоном -1, т.е. цены одинаковые. И вообще разве это субституты если наклон больше или меньше -1?
Значит у какого-то набора цена больше\меньше другой.
Субституты это не линии, линии — это кривые безразличия. Если у них постоянный угол наклона, то товары являются совершенными субститутами. Угол наклона определяет пропорцию, в которой потребителю безразличен обмен между двумя товарами. Так, если вы вместо двух пирожков с вареньем всегда готовы съесть пирожок с мясом и получить то же удовольствие, то ваши кривые безразличия будут иметь наклон $-2$.
В этой задаче спрашивается, бывает ли такое, что при каком-то уровне полезности потребитель готов обменивать одно количество товара на единицу другого без ущерба для себя (всегда одинаковое для данного уровня полезности), а при другом уровне полезности — другое (но тоже одинаковое).
Данил я упомянул цены только для того,чтобы показать наклон линий.) Ну я написал что наклон равен
-1 ,конечно это тоже правильно,но не обязательно мне быть таким уж конкретным.) Да тогда мой прошлый комментарий полное непонимание задания.)
Может быть решение этой задачи связано с разновидностью товаров.Говорю о товарах низшей категории и нормальных товарах. Если так, то намекните, а если нет буду дальше думать.))
О каких линиях идет речь? При чем тут цены и наклон $-1$?
Причем здесь цены? Просто для того, чтобы показать как я искал этот самый наклон.
Какие линии? Кривые безразличия.
Извините, буду писать понятнее.
Ну а разве месторасположение кривой безразличия не зависит от бюджетной линии?
Кривые безразличия и их положеия зависит от предпочтений потребителя,конечно.А точнее сказать от монотонной функции.Это видно на графике.Чем выше тем лучше - безусловно.
"Значит, более высокая (здесь — проходящая дальше от начала координат) кривая безразличия будет означать более высокий уровень полезности." Вы наверное имели в виду более низкий уровень полезности, или я чего-то не понял?
Ну а касаясь этой задачи, я могу привести много разных наклонов.
Пускай вначале мне хотелось пить, но не хотелось чипсов.Чипсы - 1, кола - 2. Купил колу.Уталил жажду .Дальше мне захотелось чипсов.Чипсы - 2, кола - 1. Купил чипсов.Но не утолил "голод".Купил еще.
Чипсы - 2, кола - 1.Уталил "голод".
Надо бы еще подумать.... над примерами.
Цифры 1 и 2 это приписывание функции полезности.
Во-первых, вы не предъявили функцию полезности, а только дали какое-то абстрактное описание предпочтений. Обратите внимание, что не все предпочтения можно описать функцией полезности.
Во-вторых, ваше описание вызывает вопрос: а не меняются ли сами предпочтения агента во времени? Если меняются, то пример некорректен.
Ну и наконец, совершенно непонятно, почему вам кажется, что в вашем примере кола и чипсы — субституты. Похоже, что они скорее комплементы, то есть важна пропорция, в которой они потребляются друг с другом, а не (нужная нам для субститутов) пропорция, в которой потребитель был бы готов менять одно благо на другое без ущерба для полезности.
Поменял свой комментарий.см.выше.
Извините, но, может быть, вы что-нибудь почитаете, прежде чем вести дискуссию, и будете писать комментарии более осмысленно? Сравнительным преимуществом в ликвидации вашей безграмотности и незнания основ в данном случае обладаете вы, а не я и коллеги — у нас альтернативная стоимость больше. Если будут какие-то вопросы после изучения материала, мы поможем вам разобраться с ними. Но пока что создается впечатление, что вы пытаетесь обсуждать проблемы, не приложив усилий для того, чтобы разобраться хотя бы в их сути.
В качестве бонуса — вот вам определение функции полезности из учебника Вэриана:
Я старался понять , а вы.И это определение... перед тем как писать свое сообщение не раз прочитал.
У меня многие Ваши комментарии тоже вызывают недоумение: часто я либо вообще не понимаю Ваши мысли, либо нахожу их неуместными или очевидно ложными (удивляясь, как такое можно было написать, прочитав соответствующую главу Вэриана). По всей видимости, Вы искренне стараетесь разобраться, но у Вас не получается, и вместо чёткой картины происходящего Вы имеете сумбур. Я бы на Вашем месте сделал следующее:
1) на время отложил экономику и позанимался математикой, чтобы натренировать чёткость мышления. В математике всё формализовано, каждое слово имеет чёткий смысл, и там гораздо легче осознать, понимаете Вы материал, или нет, и если не понимаете, то что именно. (В экономике на том уровне, на котором мы её обсуждаем, степень формализации низкая, поэтому легко оказаться в ситуации, когда Вам кажется, что Вы поняли главу Вэриана, а на самом деле не поняли). Возьмите учебник геометрии, почитайте доказательства теорем оттуда, попробуйте доказывать их самостоятельно и сверять с учебником, а также решать задачи. Думаю, Вам может быть очень полезно позаниматься индивидуально с учителем математики.
2) Старался бы не писать на сайте до тех пор, пока не натренирую чёткость мышления. От того, как проходят обсуждения сейчас, думаю, для Вас мало толку (например, обсуждение "Вопрос про измерение валового спроса и начального запаса товара" так и не сдвинуло Ваше понимание с места). Понять, когда Вы достигнете нужного уровня чёткости, очень просто: если, перечитав свои старые записи, Вы воскликнете "Ёпрст! Неужели это я написал такую бредятину?!", то стоит попробовать возобновить активность на сайте:)
Я готов продолжить этот разговор в личной переписке.
Я думаю, что да. Попробую доказать это. Например копейка стоит 20000 тыс руб феррари 20000000, тогда наклон равен -1000.(данные брал примерные, ну не знаю их точных цен). Значит вы можете обменять 1 феррари на 1000 копеек.( интересный пример, но возможный) дальше 2 феррари на 40000 копеек.
Что икра вкуснее а хлеб менее вкуснее.Нет.Понты типа, что у меня есть на столе икра, а у тебя нет.Нет
Цена здесь зависит от производства этих товаров. Как я думаю и от ограниченности ресурсов.
Хотя вот то,что вы все написали ,я не уверен что экономика это изучает.Например, понты.
На счет икры все банальнее, я конечно не биолог, но могу предположить, что икрой сыт не будешь: она не дает (впринципе как и хлеб) всех веществ полезных для организма, однако на хлебе жили люди:)
2)Тут нам все равно нужна оценка экономистов.
Если я правильно понимаю, то в промежуток от X(a) и X(b) входит множество значений х, каждому из которых должно соответствовать множество значение y, а значит новая (старая) кривая безразличия должна сдвинуться параллельно себе вниз и влево (вправо и вверх) и таким образом, точек пересечения кривых безразличия отражающих новые и старые предпочтения может быть больше чем одна (но как минимум одна всегда будет), поэтому этим точкам будут соответствовать разные уровни полезности, что противоречит самим условиям существования кривых безразличия. (Не знаю, как это точно сформулировать), но получается, что такой функции не существует.
P. S. Я правильно понимаю, что в промежуток K входит бесконечное множество параллельных кривых безразличия, отражающих старые предпочтения?
1) почему Вы решили, что только одна прямая имеет другой наклон и что переход происходит резко?
2) откуда Вы взяли существование самой верхней карандашной прямой?
Думайте дальше. По крайней мере, понимание того, что такое кривые безразличия, у Вас появилось
подсказка: нарисуйте треугольник и соедините каждую точку на стороне BC с вершиной А.
Если под совершенными субститутами понимать блага, такие что наклон кривой безразличия не меняется при движении по этой кривой, то второе из двух Ваших предложений не верно.
Если под совершенными субститутами понимать блага, такие что наклон кривой безразличия не только постоянный вдоль каждой кривой, но и совпадает у всех кривых, то неверным будет первое предложение.
Предпочтения, естественно, предполагаются неизменными, как и функция полезности, которая их представляет.
Теперь главное: Через точку (-7;16) и любую точку на оси y находящуюся в интервале (8;11) можно провести прямую. Причем это прямая не будет параллельна ни первому "семейству", ни второму и пересекаться с ними не будет, и соответственно в этом оставшемся пространстве между "семействами" каждая точка будет принадлежать только одной кривой безразличия (разумеется из этого пучка мы берем его часть, которая принадлежит первой четверти). Мне сказали, что такой пучок записывается в общей формуле так: a1x+b1y+c1+k(вообще лямпда, но я не знаю как тут лямпду сделать)*(a2x+b2y+c2)=0 . (Где a1x+b1y+c1=0 и a2x+b2y+c2=0 - уравнения прямых, ограничивающих пучок). Лямпда вроде как принимает разные значения (не знаю точно какие) и из за этого записывается все множество прямых, входящих в пучок. Таким образом для всех точек (x;y) определили свою кривую безразличия, причем каждая из них не меняет свой наклон, однако существует такие, у которых наклон разный.
о чем я говорил :) берем любую монотонно возрастающую и непрерывную функцию, которая в соответствие каждому х на некотором отрезке ставит в соответствие у. далее соединяем прямой х и f(x). полученное семейство удовлетворяет условиям. кстати, если вы осознаете написанное, то легко решите гришин бонус-вопрос простым предельным переходом :)
Пример верный. О том, что для доказательства того, что не остается непокрытых точек надо подключать сложный аппарат, я написал ниже.
Но вот попробуйте доказать (тут Вам знаний хватит!), что через любую точку проходит ровно одна кривая безразличия.
Если интересно, попробуйте в рамках данной задачи найти такую функцию полезности, чтобы ни у каких двух кривых безразличия наклоны не совпадали.
Закрашенный сектор пучка демонстрирует, что не останется точек, не принадлежащих какой - либо кривой безразличия
$U=y+8/7x$, при $y+8/7x <= 8$
$U=y+k(x+7)$, при остальных
k принадлежит $(-8/7; -5/7)$
Теперь по существу: Гор, я немного не понял, не могли бы Вы объяснить? (я так понимаю U у вас принимает различные значения??).
Гриша попросил просто не для этой функции, а для функции y=2x-1. Тут я почти могу выразить саму функцию. Я так понимаю нам нужно найти уравнение прямой, к которой принадлежит точка с координатами (х;у). Сначала считаю нужным заметить: если мы проведем прямую, параллельную оси абсцисс (у=у), то чем выше она будет располагаться, тем будет больше (по модулю) наклон первой прямой, пересекающей ее. Первой будем считать ту, которая пересекает ее в точку х=0. Тогда мы можем посчитать угловой коэффициент этой первой прямой. k=$\frac{y}{log_2(y+1)}$ (если непонятно, то могу отписаться, просто я это в первом комментарии писал, сейчас уже не охото:). Тогда коэффициенты остальных прямых, пересекающих эту параллельную оси Ох прямую в первой координатной четверти, будут больше. Теперь основная часть: Мы на этой прямой пометим точку х (т е в итоге точка с координатами (х;у), опустим перпендикуляр на ось Ох. Совершенно очевидно, что данная точка принадлежит какой-либо кривой безразличия. Точку пересечения этой КРИВОЙ БЕЗРАЗЛИЧИЯ с осью Ох обозначим за t. Теперь из подобия треугольников: $\frac{t-x}{y}=\frac{t}{2^t-1}$. Дальше все перемножаем и переносим с t налево, без t - направо. Получаем t*2t-t-x*2t-t*y=-x. Это уравнение с одной переменной, поэтому в теории должно иметь решение, но я не могу решить (пробовал заменой, получается ноль). Если мы выразим t через x и y, то сможем найти угловой коэффициент кривой безразличия, к которой принадлежит данная точка. он будет равен k=-$\frac{2^t-1}{t}$. А если (так должно получиться) t имеет единственное решение в данном уравнении, то докажем то, что каждая точка принадлежит только одной кривой безразличия. Если же получится два t, то мы можем попробовать убрать остальные решения, используя условие (коэффициент больше либо равен коэффициенту первой прямой)
2- у меня не всю четверть накроет((
Пусть f(t) – строго и неограниченно возрастающая непрерывная функция, такая что f(0)=0. Тогда для любой точки (x,y) с неотрицательными координатами, за исключением точки (0,0), существует, причём единственное t>0, такое что прямая, соединяющая точки (t,0) и (0,f(t)), проходит через точку (x,y).
Можете порешать упражнения:
а) Убедитесь, что Ваша функция $f(t)=2^t-1$ удовлетворяет условиям этой теоремы.
б) Предположим, что теорема верна. Как из неё следует существование функции полезности, отражающей наши предпочтения?
в) Приведите пример функции f(t), такой что наклон всех кривых безразличия одинаков.
г) Какое дополнительное условие нужно наложить на f(t), чтобы любая функция f(t), удовлетворяющая всем наложенным условиям, порождала (способом, найденным в пункте "б") функцию полезности, удовлетворяющую условиям задачи (определена на множестве всех наборов (x,y) с неотрицательными координатами; все кривые безразличия имеют постоянный наклон, но хотя бы у двух кривых безразличия наклоны не совпадают)?
д) Докажите теорему.
б) Получается, что для каждого набора двух товаров (х;у) - точка на плоскости - существует только одна своя кривая безразличия, причем это прямая, т е товары являются совершенными субститутами.
в) например F(t)=t, тогда все прямые, соединяющие t и F(t), будут иметь наклон 450. В общем виде мы можем задать F(t)=k*t , где k-положительное число.
г) нужно чтобы F'(t)=(не равно)const (не сильно уверен, что правильно написал, тогда более четкое условие, что производная этой функции должна либо убывать (но оставаться большей нуля), либо возрастать, либо возрастать - убывать:))) То есть производная этой функции должна иметь различные значения хотя бы в двух точках.
д) пока не додумал)