Предприниматель может выпускать два продукта — иксы и игреки. В его распоряжении имеются 10 часов, которые он может распределить между производством иксов и игреков в любых пропорциях; его цель — заработать за эти 10 часов как можно больше денег. Иксы он может продавать по цене 1 руб. за единицу, а игреки — по цене 2 руб. за единицу. Если он потратит $L_{x} $ часов на производство иксов, то произвёдёт их в количестве $x=4\sqrt{L_{x} } $. Если он потратит $L_{y} $ часов на производство игреков, то произведёт их в количестве $y=L_{y} $.
- Опишите и изобразите графически множество доступных ему пар $(x,y)$, где $x$ — количество произведённых иксов, $y$ — количество произведённых игреков.
- Рассмотрим два возможных уровня выручки: $TR_1$ и $TR_2$, причём $TR_2>TR_1$. (К примеру, $TR_1=6$, $TR_2=8$)
Изобразите множество всех пар $(x,y)$, которые приносят выручку $TR_1$.
Изобразите множество всех пар $(x,y)$, которые приносят выручку $TR_2$.
Что можно сказать о взаимном расположении этих линий? - Сколько иксов и сколько игреков будет производить предприниматель, чтобы максимизировать выручку? Решите графически. (Максимизировать выручку — то же самое, что найти точку доступного множества, через которую проходит самая лучшая из кривых безразличия, т.е. соответствующая самому большому уровню выручки.)
- Покажите на вашем рисунке, как будет изменяться оптимальный выбор предпринимателя, если цена иксов будет плавно изменяться (расти либо снижаться).
- Ответьте на аналогичные вопросы 1), 3), 4) для случая, когда производственные функции (т.е. зависимости между затратами труда и объёмами выпуска) для иксов и игреков имеют вид: $x=L_{x} $, $y=L_{y} $.
- Ответьте на аналогичные вопросы 1), 3), 4) для случая, когда производственные функции имеют вид: $x=L_{x}^{2} /4$, $y=L_{y} $.
Комментарии
2.Найдем выручку от продажи пары(2,2). TR=2*1+2*2=6.
Множество таких точек можно описать прямой 2y+x=6, y=3-0,5x
3.При оптимальном объёме продаж "отдача" от Lx равна "отдаче" от Ly, т.е. нет стимула производить больше икса или игрека.TRx/Lx=TRy/Ly; Значит, Lx=4, x=8 и Ly=6,y=6.
4.Px падает, оптимальный выбор перемещается влево-вверх (уменьшаем x, увеличиваем y); Px растет, выпуск перемещается вправо-вниз (увеличиваем x, уменьшаем y).
$TR'=0$
$x=4$ $y=9$
$$PR=4 \sqrt{L_x}+2Ly \to \max$$
$$L_y+L_x=10$$
$$PR=4 \sqrt{L_x}+2(10-L_x) \to \max$$
$$L_x=1; L_y=9$$
$$x=4; y=9$$
$$L_x+L_y=10$$
$$y=10-\frac{x^2}{16}$$
$$2.$$
$$2y+x=6$$
$$2y+x=8$$
Функция в которой выручка равна 8 лежит выше первой при любой цене.
$$3.$$
В первом пункте решили аналитически, но раз просят графически, решим графически.
У нас есть фиксированная КПВ. и нам нужно подборать к ней максимальную вуручку, что бы она касалась нашей КПВ.
Тут можно решать и аналитически как я это сделал в первом пункте и через равенство производных в этой точке. Ответ будет одинаковым
$$4.$$
Теперь у нас $P_x$ - это некий параметр, посмотрим, на новое множество касаний.
КПВ у нас такая же - $$y=10-\frac{x^2}{16}$$
теперь уравнение выручки будет иметь вид. $$P_x \cdot x+2y=TR$$
Логично, чем больше цена x, тем ниже на КПВ будет точка касания, так как теперь выгоднее производить x, а чем ниже $P_x$ тем выше по оси OY будет касание с КПВ.
$$5. $$
тут делаем абсолютно тоже самое, что и в пункте 1-3. Ну на этом думаю все. Очень было бы интересно сделать задачку похожую на эту, но только добавить еще издержки.