Выборы и шарики

Для начала докажем, что если один из кандидатов назвал число 50, а второй назвал число X ≠ 50, то первый выиграет. Если X < 50, то за первого кандидата проголосуют по крайней мере все, чьи любимые числа 50, 51, … 100, то есть 51 + 50 + … + 1 = 1326 человек. Это уже больше половины от общего числа избирателей. Симметрично можно показать, что первый кандидат получит больше половины голосов, если X > 50.
Дебаты закончатся тем, что оба кандидата назовут число «50».
Если предположить, что это не так, можно показать, что кто-то из кандидатов действует неоптимально для себя. Рассмотрим варианты окончания дебатов, отличные от указанного
выше:
$\bullet$ Если оба кандидата назвали числа, отличные от 50, то
$\circ$ если эти числа находятся на одинаковом расстоянии от 50 (в том числе если они равны), то исход выборов определяется монеткой, но любой кандидат, кто изменит свой выбор на 50, выиграет с определенностью;
$\circ$ если эти числа находятся на разном расстоянии от 50, то победитель выборов определен однозначно, но в этом случае проигравший вел себя неоптимально: назвав число 50, он бы мог выиграть.
$\bullet$ Если один из кандидатов назвал число 50, а другой отличное от 50 число, то второй вел себя неоптимально: так он гарантированно проиграет, а, назвав 50, мог бы выиграть с вероятностью 50%.
Выходит, что в любом исходе, в котором хотя бы кто-то называет число, отличное от 50, кто-то ведет себя неоптимально. С другой стороны, если оба назовут число 50, то судьбу выборов определит монетка, но никто из кандидатов не мог бы повысить свои шансы на победу, назвав что-то другое: если он изменит свой выбор, то гарантированно проиграет.