Комбайн

Фермер владеет двумя полями, на которых можно выращивать две давно полюбившиеся олимпиадникам культуры — Икс ($X$) и Игрек ($Y$). Информация о полях приведена в таблице:
В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2013

Двухпериодный "Сюрприз"

Вспомним задачу из регионального этапа олимпиады про фирму-монополиста «Сюрприз». Предположим, что теперь ее горизонт планирования составляет не один, а два периода. В каждом периоде спрос на продукцию фирмы описывается уравнением $Q_d=21-P$, а общие издержки — уравнением $TC=Q^2/2$. Целью фирмы является максимизация суммарной прибыли за два периода. Специфика продукта компании такова, что его можно хранить с нулевыми издержками.

Государство планирует обложить фирму налогом в размере 5 д. е. с каждой произведенной во втором периоде единицы продукции.

В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2013

Налоговый компромисс

Функция спроса на табуретки в области N задана уравнением $q=a-bp$, а функция предложения имеет вид $q=cp$, где $p$ — цена одной табуретки (в рублях), $q$ – объем продаж, $a$, $b$ и $c$ – положительные константы. Правительство области рассматривает два варианта политики по отношению к производителям табуреток, каждый из которых должен пополнить бюджет области на $T^*$ рублей ($T^*>0$):

Вариант A: Косвенный налог на продажу табуреток по ставке $t^*$ рублей на одну табуретку.
Вариант B: Прямой аккордный (не зависящий от объема продаж) налог с продавцов табуреток в размере $T^*$ рублей. В этом случае все фирмы должны платить его в равных долях, причем сумма налога, приходящаяся на каждую фирму, не заставит ее покинуть отрасль.

В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2013

Ноттингем-1

Ноттингем, XII век. В городе есть две группы жителей: бедные и богатые. Счастье любого человека в городе можно рассчитать по формуле $H=Y-x^2/2$, где $H$ — счастье человека, $Y$ — его доход (с учетом перераспределительной политики, о политике см. ниже), а $x$ — уровень усилий, который человек прикладывает для получения этого дохода. Вся разница между бедными и богатыми заключается в том, что, приложив уровень усилий $x$, бедный человек зарабатывает $V \times x$ ден. ед., а богатый — $W \times x$ ден. ед., где $W>V$. В каждой группе ровно по $N$ человек. Каждый агент выбирает свой уровень усилий так, чтобы его счастье было максимальным.

Свергнув Принца Джона, к власти в городе пришел Робин Гуд. Естественно, он решил отбирать у богатых долю $t$ дохода, и затем всю сумму сборов передавать бедным. Агенты выбирают уровни усилий, зная о проводимой Робином политике.

В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2013

Задача про такси

В некоторых городах рынок такси подвергается жесткому регулированию: власти ограничивают количество выдаваемых лицензий и фиксируют тарифы. Компании и частные водители, не получившие специальную лицензию, в зависимости от города либо вообще не могут оказывать услуги такси, либо могут работать только по вызову, а не «подбирать» людей на улицах. Конкуренцию традиционным такси, работающим через диспетчера, составляют такие сервисы, как Uber.com или Яндекс.Такси, которые позволяют клиентам найти ближайший автомобиль с помощью геолокационного приложения на смартфоне.
В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2014

Витаминкин

Индивидуальный частный предприниматель Витаминкин участвует в государственном тендере на поставку ягодного варенья. Чтобы производить требуемое количество варенья, нужно 8 кг брусники и 4 кг черники ежедневно, а также свободное время Витаминкина, альтернативную стоимость которого он оценивает в 1000 рублей в день.
В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2014

Производительность труда и НТП

Технологический прогресс по-разному влияет на производительность труда в разных отраслях. Например, для производства автомобиля сегодня нужно гораздо меньше человеко-часов труда, чем было нужно 100 лет назад, но парикмахеры не могут постричь за день в десятки раз больше людей, чем они стригли в начале XX века.

а) Объясните, как именно научно-технический прогресс влиял на технологии производства в этих отраслях, что обусловило эту разницу в динамике производительности труда.

В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2014
Свойства задачи: 
Качественная задача
Можно решить без знания производной

Вещество и антивещество

2114 год. Электростанция X производит электроэнергию, для получения единицы которой нужно затратить по одной единице вещества и антивещества. Электростанция является единственным производителем электроэнергии в своем регионе; спрос на нее задан уравнением $Q=100-P$. Рынок вещества совершенно конкурентный, и цена на нем равна v. Антивещество же, напротив, является уникальным благом, которое может производить только Большой Адронный Коллайдер (БАК). Все рассмотренные фирмы максимизируют прибыль, при этом сначала цену устанавливает БАК, а потом электростанция.
В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2014

Ошибка бухгалтера

В 2012 году генеральным директором фирмы X был Иван Иванович, а главным бухгалтером – Аристарх Ксенофонтович. Следуя стандартной стратегии максимизации прибыли, Иван Иванович выбрал объем выпуска, равный 20. По данным главного бухгалтера, прибыль составила 10. В 2013 году в результате интриг Иван Иванович и Аристарх Ксенофонтович поменялись должностями. Встав у руля фирмы, Аристарх Ксенофонтович придерживался более экстравагантной стратегии $-$ максимизации рентабельности (отношения прибыли к общим издержкам). Он выбрал объем выпуска, равный 30.
В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2014

Рассрочка

Рассрочка — это способ продажи товара, при котором сумма, уплачиваемая покупателем, распределяется во времени. В отличие от обычного кредита, при рассрочке не должно быть никаких дополнительных переплат: процентов, комиссий и т. п. — общая сумма, уплаченная покупателем в итоге, должна быть равна цене товара. Как правило, стоимость товара вносится через небольшие промежутки времени (например, раз в месяц) равными частями.
В олимпиадах: 
Московская олимпиада школьников — 2015