CES-функция

$TC = \sum_{i=1}^{n} p_i x_i$. Мы хотим минимизировать $TC$ при фиксированном $Q$, значит нужно оценить $TC$ снизу. Воспользуемся неравенством Гёльдера. Пусть $w = 1 - u < 1$. Возьмём первый набор как $\left( (x_1 p_1)^u, (x_2 p_2)^u, \dots, (x_n p_n)^u \right) \quad$ и второй как $\quad \left( p_1^{-u}, p_2^{-u}, \dots, p_n^{-u} \right)$
Тогда, так как $u + w = 1$, по неравенству Гёльдера:
$$\left( \sum_{i=1}^{n} \left( (p_i x_i)^u \right)^{\frac{1}{u}} \right)^u \cdot \left( \sum_{i=1}^{n} (p_i^{-u})^{\frac{1}{w}} \right)^w \ge \sum_{i=1}^{n} \left( (p_i x_i)^u \cdot p_i^{-u} \right) = \sum_{i=1}^{n} x_i^u = Q^u$$
Заметим, что:
$$\left( \sum_{i=1}^{n} \left( (p_i x_i)^u \right)^{\frac{1}{u}} \right)^u = \left( \sum_{i=1}^{n} p_i x_i \right)^u = TC^u$$
Тогда из неравенства:
$$TC^u \cdot \left( \sum_{i=1}^{n} (p_i^{-u})^{\frac{1}{1-u}} \right)^{1-u} \ge Q^u$$
$$TC \ge Q \cdot \left( \sum_{i=1}^{n} (p_i^{-u})^{\frac{1}{1-u}} \right)^{-\frac{1-u}{u}} = Q \cdot \left( \sum_{i=1}^{n} p_i^{\frac{u}{u-1}} \right)^{\frac{u-1}{u}}$$
Равенство достигается, когда элементы наборов в степенях $\frac{1}{u}$ и $\frac{1}{w}$ пропорциональны, то есть:
$$\frac{x_1 \cdot p_1}{p_1^{\frac{u}{u - 1}}} = \frac{x_2 \cdot p_2}{p_2^{\frac{u}{u - 1}}} = \dots = \frac{x_n \cdot p_n}{p_n^{\frac{u}{u - 1}}} \implies x_1 \cdot p_1^{\frac{1}{1 - u}} = x_2 \cdot p_2^{\frac{1}{1 - u}} = \dots = x_n \cdot p_n^{\frac{1}{1 - u}}$$
При таких $x_i$ издержки будут минимальны и равны:
$$TC(Q) = Q \cdot \left( \sum_{i=1}^{n} p_i^{\frac{u}{u-1}} \right)^{\frac{u-1}{u}}$$