Устойчивый экономический рост

$Y_t=\sqrt{K_t\cdot L_t },$

где $Y_t$ – уровень выпуска (ВВП), $K_t$ – количество капитала, a $L_t$ – количество труда в периоде t. Известно, что в течение каждого периода 10% имеющегося капитала «изнашивается» и потому не подлежит использованию в дальнейшем производстве.
Однако объём капитала можно увеличить с помощью инвестиций. Таким образом, в любой период времени объём капитала в стране определяется исключительно двумя показателями: тем, сколько капитала осталось после предыдущего периода, и тем, сколько в предыдущем периоде было совершено инвестиций. Иначе говоря:

$K_t=0{,}9K_{t-1}+I_{t-1},$

где $K_t$ – объём капитала в текущем периоде, $K_{t-1}$ – объём капитала в предыдущем периоде, а $I_{t-1}$ – инвестиции предыдущего периода.

Изначально в экономике есть некоторое положительное количество капитала. Население предпочитает сберегать 45% от суммарного дохода и направлять оставшиеся средства на текущее потребление. Все сбережения, сделанные в период t, полностью и моментально трансформируются в инвестиции.

Назовём уровнем капиталовооружённости отношение капитала к труду, то есть величину $k_t=\dfrac{K_t}{L_t}$ . Назовём устойчивым состоянием такую ситуацию, в которой уровень капиталовооружённости не меняется от периода к периоду.

1. Пусть численность рабочей силы в данной стране постоянна ($L_t=L=\text{const}$), а предложение труда абсолютно неэластично. Выведите зависимость $k_t$ от $k_{t-1}$ и графически покажите, что со временем экономика стабилизируется возле некоторого значения $k^*$.
2. Найдите уровень капиталовооружённости $k^*$, обозначенный в Пункте 1. Чему в устойчивом состоянии будут равны темп роста ВВП и темп роста потребления на душу населения?
3. Пусть предложение труда по-прежнему абсолютно неэластично, но число работников увеличивается на 20% с каждым периодом, иными словами, $L_t=1{,}2L_{t-1}$. Ответьте на вопросы Пункта 2 при новом допущении и аргументировано поясните, как полученные результаты отличаются от случая, где рост населения отсутствует.