Воспроизводимый ограниченный ресурс

Предприятие 2:
$Y = min(\alpha; \frac{1}{4}\beta$)
$X=2\alpha$
$\beta^+=\frac{2}{3}X$

Заметим, что, если мы вставим в уравнения ресурсозатрат вместо $\alpha$ и $\beta$ количества данных ресурсов, которыми располагают предприятия, мы получим максимальное количество Y, которое могут произвести предприятия при нулевом производстве X (ведь ресурс $\alpha$, необходимый для производства X, мы полностью отправили на производство Y, как и ресурс $\beta$).
Но предприятия могут производить не только товар Y, часть ресурса $\alpha$ всё-таки идёт на производство товара X, следовательно, количество ресурса $\alpha$, задействованное в производстве Y уже будет меньше на эту самую часть.
И чем больше мы будем производить товара X, тем меньше ресурса α останется на производство товара Y.
Однако в процессе производства товара X выделяется ресурс $\beta$, который мы можем направить только на производства товара Y (что мы и сделаем). Отсюда следует, что чем больше мы производим товара X, тем больше ресурса $\beta$ мы можем задействовать на производстве товара Y.
Теперь выразим количества $\alpha$ и $\beta$, которые мы можем задействовать в производстве товара Y через объём производства товара X.

Предприятие 1:
$\alpha=30-X$
$\beta=40+\frac{4}{3}X$

Предприятие 2:
$\alpha=30-\frac{X}{2}$
$\beta=40+\frac{2}{3}X$

Теперь для того, чтобы получить уравнения КПВ нужно просто вставить количества α и β в уравнения ресурсозатрат производства товара Y.
Предприятие 1:
$Y=min(2(30-X); \frac{1}{2}(40+\frac{4}{3}X))=min(60-2X;20+\frac{2}{3}X)$

Предприятие 2:
$Y=min((30-\frac{X}{2}); \frac{1}{4}(40+\frac{2}{3}X))=min(30-\frac{X}{2};10+\frac{1}{6}X)$

Ответ на второй вопрос

Из ответа на первый вопрос видно, что предприятие №1 должно специализироваться на производстве товара Y, а предприятие №2 на производстве товара X.
В таком случае уравнения ресурсозатрат ПО будут выглядеть так:
$Y = min(2\alpha; \frac{1}{2}\beta$)
$X=2\alpha$
$\beta^+=\frac{2}{3}X$
Чтобы получить уравнение КПВ выражаем ресурсы через X и подставляем значения в уравнение ресурсозатрат производства Y (т.е. делаем всё тоже самое, что и в предыдущем пункте, но не забываем, что кол-во доступных ресурсов теперь в два раза больше).

КПВ ПО

$Y=min(2(60-\frac{X}{2}); \frac{1}{2}(80+\frac{2}{3}X))=min(120-X;40+\frac{1}{3}X)$

Ниже представлен график КПВ ПО.

Ниже представлены (для наглядности) графики всех трёх КПВ на одной системе координат.
Красный – предприятие №1
Синий – предприятие №2
Зелёный - ПО

Ответ на третий вопрос

Для начала заметим, что ПО никогда не выберет объём производства X меньше 60, т.к. тогда оно окажется на возрастающем участке КПВ (т.е. сможет увеличить производство обоих товаров сразу).
Также, убывающий участок КПВ представляет собой прямую с коэффициентом -1 при x (т.е. увеличивая производства X на 1, мы отказываемся от одного Y). Т.к. $P_Y=30$, а $P_X=10$, производство каждой дополнительной единицы X (на убывающем участке) будет приносить нам 20ед. убытков. Следовательно, оптимальный объём производства – точка перегиба (60; 60), а $TR_{max}=2400$.

Ответ на четвёртый вопрос

Т.к. убывающий участок КПВ – это прямая с коэффициентом -1 при X.
Для того, чтобы ПО изменило объём производства цена X должна быть больше цены Y.
А для этого она должна увеличиться более чем на 20ед. или более чем в 3 раза.

Ответ на пятый вопрос
Для начало определим максимальное количество ресурса β, которым может обеспечить себя предприятие.
Вспомним, что для ПО: $\beta^+=\frac{2}{3}X$, a максимальное кол-во X = 120.
Следовательно, максимальное кол-во $\beta =\frac{2}{3}*120+80=160$.
(80 – это поставки от города)
Цена Y = 30.
Для того, чтобы предприятие выбрало ненулевой объём производства Y должно выполняться следующее неравенство:
$160*P_{\beta}+120*10<2400$
$160*P_{\beta}<1200$
$P_{\beta}<7,5$

Пояснение: в левой части неравенства – выручка от продажи β и X, а в правой части неравенства – максимально возможная выручка предприятия при данных ценах (а именно – выручка от продажи 60Y и 60X).

Есть другой вариант решения. Заметим, что при уменьшении кол-ва X на 1, мы будем приобретать 20ед. выручки за каждую единицу (из-за того, что Y дороже X на 20 и тангенс угла наклона убывающего участка КПВ = -1).
Также, мы будем терять $\frac{2}{3}\beta$ за каждую единицу X и терять $2\beta$ за производство каждой дополнительной единицы Y. Итого: $\frac{8}{3}\beta$ мы будем терять при движении влево по КПВ.
Отсюда неравенство: $20 > \frac{8}{3}P_{\beta}$
т.е. $7,5 > P_{\beta}$