Бизнес на воде с сиропом

Оптимальные размер партии зависит от того, в течение какого периода нужно максимизировать прибыль.
1) Если стоит цель максимизировать среднюю дневную прибыль, то задача решается так.
Предположим, что партия воды закупается на $t$ дней, тогда ее размер $100\cdot t$. Доход от продажи всей партии $TR =20\cdot 100\cdot t = 2000\cdot t$
Издержки состоят из расходов на закупку ($13\cdot 100\cdot t = 1300\cdot t$), расходов на транспортировку (300) и расходов на хранение.
Определим расходы на хранение.
Если Пончик закупает $100\cdot t$ бутылок воды, то в первый день расходы на хранение составят $2\cdot 100\cdot t$
К началу второго дня на складе будет $100(t – 1)$ бутылок воды. Следовательно, расходы на хранение во второй день равны $2\cdot100(t – 1)$. Рассуждая аналогично, расходы в третий и день $2\cdot100(t – 2)$, четвертый день $2\cdot100(t – 3)$ и т.д., расходы в t-й день составят $2\cdot100$. Последовательность расходов на хранение является арифметической прогрессией. Ее сумма:
$$S_t=\frac{(a_1+a_t)}{2t}=\frac{(2\cdot100\cdot t+2\cdot100)}{2t}=100(t+1)\cdot t$$ (1)
Запишем функцию средней дневной прибыли:
$$\pi=\frac{(2000t-1300t-300-100(t+1)t)}{t}=\frac{(600t-100t^2-300)}{t}=600-100t-\frac{300}{t} \to max$$ (2)
Равенство производной нулю достигается при $t=\sqrt3\approx1.73$. Вторая производная отрицательна, так что это – точка максимума.
Поскольку количество дней – целое число, то следует выбрать одно из двух значений $t=1$ или $t=2$ в зависимости от того, при каком из них прибыль больше.
$$\pi(1)=\frac{(20\cdot100-13\cdot100-300-2\cdot100)}{1}=200$$
$$\pi(2)=\frac{(20\cdot200-13\cdot200-300-100\cdot(2+1)\cdot2)}{2}=250$$
Очевидно, средняя дневная прибыль достигает максимума, если партия закупается на 2 дня. Значит, размер партии равен $100\cdot2 = 200$ бутылок.
Тот же результат может быть получен и методом перебора. Сразу заметим, что из формулы (2) следует, что более, чем 5-дневные партии рассматривать нет смысла, так как издержки хранения возрастают так сильно, что прибыль начиная с 6-дневной партии становится отрицательной.

*Рассчитывается по формуле (1)

Ответ: 200 бутылок.

2) Если стоит цель максимизировать прибыль в течение какого-то более длительного срока работы предприятия, чем один день ($Т$ дней, где $Т$ – целое число), то оптимальный размер партии определяется длинной периода $Т$.
Рассмотрим прибыль, которую получит Пончик за один закупочный период. Из таблицы (столбец 7) следует, что трехдневные парии можно не закупать, а заменить одну трехдневную партию тремя однодневными. Прибыль при этом будет одна и та же. Четырехдневную партию выгоднее заменить двумя двухдневными, тогда прибыль будет больше (500+500=1000 при двух двухдневных закупках против 500 при одной четырехдневной). Из тех же соображений пятидневную партию лучше заменить пятью однодневными. Таким образом, Пончику выгодно закупать либо однодневными, либо двухдневными партиями в зависимости от длины периода, в котором максимизируется прибыль.
Если период содержит четное число дней, то очевидно, максимальная прибыль будет обеспечена двухдневными партиями, так как среднедневная прибыль при этом достигает максимума.
Поскольку максимальная дневная прибыль достигается при двухдневных закупках, встает вопрос о целесообразности рассмотрения периодов, содержащих нечетное число дней. Если окажется, что в периоды с четным числом дней $T=2N$,$N=1,2,3$… прибыль всегда выше, чем в периоды с нечетным числом дней $T=2N+1$, Пончику будет выгодно заменить период с нечетным числом дней на период на один день более короткий, содержащий четное число дней.
Прибыль, полученная за период, содержащий четное число дней определяется следующим образом:
$$\pi_{t=2}(T)=250\cdot T, T=2N, N=1,2,3…$$
так как в этом случае закупки осуществляются двухдневными париями (200 бутылок), Пончик закупает воду каждые два дня и всю ее продает. Каждые два дня он получает прибыль 500 рублей, или в среднем в день 250 руб.
Прибыль, полученная за период, содержащий нечетное число дней, зависит от того, какими партиями производятся закупки воды.
Если закупки совершаются двухдневными партиями (200 бутылок), то для обеспечения продаж в течение $Т$ дней ($T=2N-1, N=1,2,3$…) придется закупать воду на $Т+1$ дней. В этом случае половина бутылок последней парии (100 бутылок) не будет продана, то есть прибыль за весь период будет меньше, чем при четном числе дней ($Т+1$) на величину выручки одного дня ($20\cdot100=2000$ руб.). Однако эти 100 бутылок и хранить нет смысла (лучше сразу от них избавиться так или иначе), чтобы не нести лишних расходов. А это уже увеличивает прибыль за период на величину затрат на хранение 100 бутылок в течение последнего закупочного периода, то есть на $2\cdot2\cdot100=400$ руб. :
$$\pi_{t=2}(T)=250\cdot(T+1)-2000+400=250\cdotT-1350, T=2N-1, N=1,2,3…$$
Однако, если сократить период на 1 день, то прибыль будет
$$\pi_{t=2}(T-1)=250\cdot(T-1)=250T-250,T=2N-1, N=1,2,3…$$
что выше, чем прибыль, полученная в периоде с нечетным числом дней.
Следовательно, если период содержит четное число дней, то закупки следует производить двухдневными партиями (200 бутылок), а периоды с нечетным числом дней выгодно заменять более короткими (на один день) периодами с четным числом дней, что позволит увеличить прибыль.
Если закупки производятся однодневными партиями (100 бутылок), то прибыль равна
$$\pi_{t=1}(T)=200\cdot T, T=2N-1,N=1,2,3…$$
Если заменить период на более короткий (Т-1), содержащий четное число дней, прибыль будет равна
$$\pi_{t=2}(T-1)=250\cdot(T-1)=250T-250,T=2N-1, N=1,2,3…$$
Такая замена периода на более короткий имеет смысл, если она не приводит к уменьшению прибыли, то есть:
$$\pi_{t=2}(T-1)=250\cdot(T-1)=250T-250\ge200\cdot T=\pi_{t=1}(T), T=2N-1, N=1,2,3… \Rightarrow T\ge5$$
Следовательно, при длительности периода, в котором максимизируется прибыль, превышающем 5 дней, максимум прибыли будет получен, если закупки производить двухдневными партиями (200 бутылок), а период с нечетным числом дней заменять на период на один день более коротким.
Для длительности периода меньше 5 дней запишем прибыль, получаемую при закупках однодневными и двухдневными партиями:

Очевидно, что при $Т<5$ следует в период, содержащий нечетное число дней, закупать воду однодневными партиями, а в период, содержащий четное число дней – двухдневными. При $Т=5$ и закупках однодневными партиями прибыль будет такая же, как и при $Т=4$ и закупках двухдневными партиями. Так что в этом случае можно сократить период на один день без потери прибыли.

Ответ: размер партии зависит от длительности периода, в течение которого максимизируется прибыль. Если этот период не превышает 4 дней, то для получения максимальной прибыли размер партии должен быть равен 100 бутылок, если число дней в периоде нечетное, и 200 бутылок, если число дней четное. Если же длительность периода превышает 4 дня, то Пончику закупать нужно только партиями по 200 бутылок, при этом длительность периода, в котором максимизируется прибыль, должна быть равна четному числу дней, в противном случае прибыль не будет максимальной.