На внутреннем и внешнем рынке

Пусть $m$ – цена внешнего рынка (мировая цена) на продукцию монополиста.

Как известно, фирма, принимая решение об оптимальном объеме производства и продаж, сравнивает предельную выручку и предельные издержки. Пусть $Q$ – суммарный объем производства фирмы. Тогда предельные издержки фирмы будут равны:

$MC=TC'=(Q^2+10Q+50)'=2Q+10$

Предельная выручка фирмы будет зависеть от того, на каком из двух рынков фирма продаст свою продукцию. На внутреннем рынке:

$Q_d=90-2,5p \Rightarrow p_d=36-0,4q$
$ MR=TR'=(p_d \cdot q)'=(36q-0,4q^2)'=36-0,8q$, где $q$ – объем товара, проданного на внутреннем рынке.

На внешнем рынке предельная выручка постоянна и равна $m$ (аналогично рынку совершенной конкуренции).

Поскольку функция предельной выручки от продаж на внутреннем рынке убывает, фирма будет продавать продукцию здесь до тех пор, пока предельный доход не станет равным предельному доходу внешнего рынка, т.е. m. После этого фирма станет осуществлять продажи на внешнем рынке. Таким образом, функция предельной выручки фирмы равна: $MR(Q)=\max(36-0,8Q;m)$.

Так как по условию задачи объем продаж на внешнем рынке положителен, в точке максимума прибыли $MR = m$. Следовательно, суммарный объем продаж может быть определен из условия $MC = m$:

$MC=m \Rightarrow 2Q+10=m \Rightarrow Q=\frac{m-10}{2}$

Объем производства и продаж на внутреннем рынке находим из условия $MR = m$ – именно при этом объеме продаж на внутреннем рынке фирме станет выгодно переключиться с внутреннего рынка на внешний. Таким образом, на внутреннем рынке объем производства
($q$) можно найти:

$MR=m \Rightarrow 36-0,8q=m\\ q=\frac{5}{4}(36-m)$

Наконец, находим $m$ из условия $q=0,75Q$:

$\frac{5}{4}(36-m)=\frac{3}{4}(\frac{m-10}{2}) \Rightarrow m=30$