Динамическое изменение издержек

Первый этап.

По условию $TC_{год}= Q^2+Q\cdot(350-4t)+1553$, тогда:
$MC_{год}=2Q-4t+350$
Из уравнения спроса найдем MR:
${Q_d}=430-P \Rightarrow MR=430-2Q$
Так как предельная выручка убывает, а предельные издержки возрастают, условие $MR=MC$ будет соответствовать максимуму прибыли.

$MR=MC\Rightarrow Q=t+20$
Подставив Q в соответствующие равенства, получим :
$TC_{год}= -3t^2+310t+8953$

$TR_{год}= -t^2+390t+8200$
Тогда, соответственно
$\pi_{год}= TR_{год}-TC_{год}=2t^2+80t-753$

Теперь рассмотрим годовой прирост издержек производства:
$\Delta TC_{год}(t)=TC_{год}(t+1)- TC_{год}(t)$

$\Delta TC_{год}(t)= 307-6t$
Заметим, что функция $\Delta TC_{год}(t)$ является убывающей, а функция годовой прибыли напротив возрастает на множестве положительных $t$, то есть, если в некоторый момент времени $t^*$ годовая прибыль покроет дополнительные издержки связанные с запуском производства в новом году ($\pi_{год}\ge\Delta TC_{год}$), то и во все остальные годы, производство будет обеспечено средствами для бесперебойной работы.

$\pi_{год}\ge\Delta TC_{год}\Rightarrow t\ge10$

Таким образом, в десятом году производство "уйдет в ноль" и, начиная с десятого года, издержки для запуска производства в новом году будут покрываться за счет полученной в текущем году прибыли.

Теперь, чтобы посчитать одолженную сумму, будем рассуждать следующим образом:
Одолженная сумма - это минимальная сумма необходимая для обеспечения беспрерывного производства вплоть до конца десятого года, то есть до того момента, когда фирма перестанет нуждаться в дополнительных вливаниях.Тогда, в начале первого года нам нужно $TC_1$, потом мы получим $TR_1$ тогда в начале второго года нам нужно $TC_2-TR_1$, в начале третьего года - $TC_3-TR_2$ и так далее.
Тогда за время $t$ нам понадобится сумма S, такая что

$$S(t)= TC_1+(TC_2-TR_1)+(TC_3-TR_2)+(TC_4-TR_3)+...+(TC_t-TR_{t-1})$$
Перегруппируем слагаемые, получим:

$$S(t)=\underbrace{(TC_1-TR_1)}_{-\pi_1}+\underbrace{(TC_2-TR_2)}_{-\pi_2}+\underbrace{(TC_3-TR_3)}_{-\pi_3}+...+\underbrace{(TC_{t-1}-TR_{t-1})}_{-\pi_{t-1}}+TC_t$$
$$S(t)=TC_t-\sum_{i=1}^{t-1}\pi_i$$
При этом:
$$\sum_{i=1}^{t-1}\pi_i=\sum_{i=1}^{t-1}2i^2+80i-753=\frac{(t-1)(2(t-1)^2+123(t-1)-2138)}{3}$$
Тогда в итоге:
$$S(t)=-3t^2+310t+8953-\frac{(t-1)(2(t-1)^2+123(t-1)-2138)}{3}$$

Выше, мы получили, что $t_{min}=10$, значит

$$S_{min}=S(10)= 14360$$

Второй этап.

Из условия следует, что за год до того, как у Старого Экономиста в первый раз накопится сумма, которая соответствует (не меньше) текущей задолженности, он отдал "всё, что у него есть"( $\sum_{i=1}^{t}\pi_i $ ) плюс $P_зуба$, и данная сумма была равна долгу на тот момент.
В условии содержится явная подсказка, указывающая на то, что такой момент времени $t$ хотя бы должен удовлетворять $$t~\vdots~15$$
Проверим, удовлетворяет ли $t=15$ данным условиям, если да, то докажем его единственность.
$$\text{Сумма на руках}_{15} = 14360+\sum_{i=1}^{15}\pi_i = 14360 +\frac{15(2\cdot15^2+123\codt15-2138)}{3}=15145$$
Таким образом к концу 15-го года у Старого Экономиста будет 15145 ден. единиц.
$$\text{Сумма долга}_{15} = 14360\cdot(\sqrt[15]{1,055})^{15}=15149,8 $$
Очевидно, на следующий год прирост прибыли покроет недоимку по долгам(долг растет ежегодно менее чем на 1%, а прибыль увеличится более чем на 1000д.е., то есть более чем на 6,25%) - то есть Старый Экономист сможет вернуть долг полностью.
Теперь заметим, что при $t<15$ суммарная прибыль отрицательна т.е. $$\sum_{i=1}^{t}\pi_i <0$$
$$\text{Сумма на руках}= 14360+\sum_{i=1}^{t}\pi_i<14360$$
- значит вернуть долг в предыдущие годы было невозможно.

Таким образом мы нашли $t=15$, удовлетворяющее условию, и доказали единственность такого момента, следовательно
$$P_{зуба} = \text{Сумма долга}_{15} - \text{Сумма на руках}_{15} = 15149,8 -15145=4.8$$

Получили $P_зуба=4.8$