Задача
Раздел
Темы
Сложность
Голосов еще нет
Автор
04.12.2009, 21:02 (Тимур Аббясов)
26.05.2015, 17:25
26.05.2015, 17:25
Однажды Старый Экономист обратился к своему другу, Юному Экономисту, с просьбой одолжить ему немного денег. При этом он объяснил, что нашел замечательных рабочих, которые способны к обучению, и с каждым годом работы на предприятии, работают все лучше и лучше. Но взамен на свой необычный труд, коллектив предприятия поставил свое условие: старик должен вначале каждого года покрывать все издержки, которые запланированы на этот год, а за это, в конце года, работники пообещали приносить неплохую прибыль.Прежде чем согласиться, Юный Экономист попросил предоставить данные о годовых издержках и спросе на продукцию этого предприятия.Достать их не составило труда, однако их вид удивил Юного Экономиста:
$$TC_{год}=Q^2+Q\cdot(350-4t)+1553$$
где $t$ - какой год работает предприятие, соответственно $t\in\mathbb{Z_+}$
Дабы задача не теряла экономический смысл, будем считать, что максимальный срок работы такого предприятия составляет 85 лет.
Спрос в течении всего времени остается неизменным:
$${Q_d}=430-P$$
Немного подумав, Юный Экономист сказал: "Хорошо, я дам, столько денег, сколько тебе нужно,и вернуть ты эти деньги можешь, когда посчитаешь нужным, только учти, что за один год твой долг увеличивается в $$\sqrt[15]{1,055}$$ раз.
Прошло несколько лет, и, в конце очередного года, два друга снова встретились, на этот раз чтобы уже наконец рассчитаться по долгам. Когда Юный Экономист, получив деньги, пересчитал их, он возразил, что денег немного меньше, чем должно быть. Старый Экономист ответил так: "Я решил, что ждать такой мизерной суммы еще год для тебя неразумно, поэтому я решил отдать всё, что у меня есть сегодня." Но такой расклад дел не устроил юного экономиста, и тогда, дабы не откладывать встречу на год, Старый Экономист отвернулся, а когда повернулся в его дрожащих руках лежал золотой зуб.Старик попытался сказать, сколько денег дадут за его зуб, но его слова уже трудно было разобрать.
Сколько должен стоить золотой зуб, чтобы сделку можно было считать абсолютно честной
$$TC_{год}=Q^2+Q\cdot(350-4t)+1553$$
где $t$ - какой год работает предприятие, соответственно $t\in\mathbb{Z_+}$
Дабы задача не теряла экономический смысл, будем считать, что максимальный срок работы такого предприятия составляет 85 лет.
Спрос в течении всего времени остается неизменным:
$${Q_d}=430-P$$
Немного подумав, Юный Экономист сказал: "Хорошо, я дам, столько денег, сколько тебе нужно,и вернуть ты эти деньги можешь, когда посчитаешь нужным, только учти, что за один год твой долг увеличивается в $$\sqrt[15]{1,055}$$ раз.
Прошло несколько лет, и, в конце очередного года, два друга снова встретились, на этот раз чтобы уже наконец рассчитаться по долгам. Когда Юный Экономист, получив деньги, пересчитал их, он возразил, что денег немного меньше, чем должно быть. Старый Экономист ответил так: "Я решил, что ждать такой мизерной суммы еще год для тебя неразумно, поэтому я решил отдать всё, что у меня есть сегодня." Но такой расклад дел не устроил юного экономиста, и тогда, дабы не откладывать встречу на год, Старый Экономист отвернулся, а когда повернулся в его дрожащих руках лежал золотой зуб.Старик попытался сказать, сколько денег дадут за его зуб, но его слова уже трудно было разобрать.
Сколько должен стоить золотой зуб, чтобы сделку можно было считать абсолютно честной
Примечание:
$${1^2}+{2^2}+{3^2}+{4^2}+{5^2}+...+{k^2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$$
Комментарии
Спасибо,Сурен, я так понимаю ты еще не решил задачу. Поэтому спешу тебя расстроить,цифры оказались слишком удачными и можно получить правильный ответ при неуниверсальном решении, отличающимся от задуманного. Завтра я доработаю цифры, если это возможно, чтобы в "нетаком" решении был подвох. А все слова и факты вроде как формируют вполне однозначный ответ.
Кажется мне удалось выбрать цифры, чтобы решение складывалось однозначным.
Вообще-то корень слова "динамика" означает "сила", но почему-то в экономике закрепилось именно такое понимание слова "динамика".
Григорий, как задачка?
тогда долг который должен вернуть старик равен TC*t*1,0551/15 ??
Первое что нам нужно понять, невзирая на все остальное это одолженная сумма денег.
Чтобы ее найти найти годовую прибыль и издержки для начала. Потом попробуй порассуждать по поводу суммы.Я всегда готов помочь.
Из равенства MR MC наход Q=20+t подставим в TCгод=-3t2 + 310t+8953 . Тогда TC за всё кол-во лет будет -0,5t(t+1)(2t+1)+310t+155(t-1)*t+8953t (применяем формулу для суммы квадратов натуральных чисел и арифметической прогрессии) Потом найдём TRгод=-t2 + 390t+8200 ну и находим прибыль Prгод=2t2 +80t-753 тогда Pr за всё кол-во лет 1/3*t(t+1)(2t+1)+80t+40t(t-1)-753t .
Может одолженная сумма это TC1+(TC2-Pr1)+(TC3-Pr2)+(TCt-Prt-1)?
С суммой этого ряда ещё поработать надо :)
$$ \sum_{i=1}^nTC_i = TC_1+TC_2+...+TC_n $$
Только что это даёт?
Так же, $$ \sum_{i=1}^tPr_i = \frac{t(2t^2+123t-2138)}{3} $$ это у тебя тоже было, если проделать следующее действие $$ \sum_{i=1}^tTR_i - \sum_{i=1}^tTC_i $$
А теперь просто попробуй обрисовать ситуацию. Мол, заняли мы некую сумму. Из неё выплатили $ TC_1 $. Получили $ TR_1 $ и т.д... Рассмотри эту функцию и легко сможешь найти сумму, которую мы заняли.
Сурен, задам такой вопрос, какие у нас предпочтения к занятой сумме, или нам все равно сколько занять, лишь бы хватило, поэтому можно миллион занять? Если ты понимаешь о чем речь, тогда подумай отвечает ли твоя сумма этому условию. Ведь покрыть все $TC$ это способ влоб, все таки попробуй табличку то сделать хотя бы за три первых года и сразу поймешь почему много.У нас немного цикличный процесс, а ты линейно рассматриваешь.
TC1+TC2-TR1+TC3-TR2+TCt-TRt-1 возможно это и есть сумма долга?)
Сурен, важно понимать, что каждый год часть средств к нам возвращается, или даже больше возвращается.
В твоей формуле если местами переставить получается $$S=\underbrace{(TC_1-TR_1)}_{-\pi_1}+\underbrace{(TC_2-TR_2)}_{-\pi_2}+\underbrace{(TC_3-TR_3)}_{-\pi_3}+...+\underbrace{(TC_{t-1}-TR_{t-1})}_{-\pi_{t-1}}+TC_t$$ Таким образом $$S=TC_t-(\pi_1+\pi_2+ \pi_3+ ...+\pi_{t-1})$$ если я правильно понял,так?
Только правильнее назвать это не суммой долга, а одолженной суммой.
Это правильная формула, по ней можно найти долг, однако необходимо точно определить, какое $t$ мы подразумеваем и почему.У этого времени есть вполне экономический смысл.
По поводу смысла,мне кажется,t будет равна тому периоду когда прибыль станет положительной?
Я, кстати, нашел, что t=11, а сумма, которую он должен взять в долг равна 14360.
Rizz, браво, твои рассуждения очень близки к оригинальным.Cумму ты нашел верно.Однако в формуле Сурена, это может быть и другое $t\neq11$, хотя 11 тоже подходит, подумай почему, возможно найдешь еще изящный способ как найти $t$. Ну раз ты сумму нашел, пиши как ты ее находил, я конечно догадываюсь, но хотелось бы послушать.
$TR_{t-1}=TC_t$
$430(Q-1)-(Q-1)^2=Q^2+Q(350-4t)+1553$
Кроме того из равенства $MC=MR$ найдем, что $t=Q-20$
Подставим это в верхнюю формулу и найдем $t$
Ну а затем я, в принципе, находил также, как и ты написал про сумму долга выше.
Но это я делал наверное нерационально: считал все $TR$ и $TC$ и находил прибыль за каждый период в отдельности. Есть способ посчитать это все проще?
Но зато похоже, что у тебя нарисована некоторая табличка типа $TC$ $TR$ и $\pi$ при разных $t$, о которой я говорил Сурену, если это так, то ты наверное согласишься, что она упрощает понимание происходящего).
Насчет того как проще посчитать, для этого нужно просто ввести не годовые показатели а суммарные, для этого я и дал формулу сумм квадратов.Когда мы уже нашли $t$ подставим его сюда $$S=TC_t-(\pi_1+\pi_2+ \pi_3+ ...+\pi_{t-1})$$.
Ну, главный вопрос почему ты говоришь, что $TR_{t-1}=TC_{t}$ ?
$TR_{t-1}=TC_t$ т.к. он платит все издержки в начале года, а получает доход только в конце. Значит у него должна быть на руках необходимая для оплаты всех издержек сумма на начало года, иначе он просто не сможет работать. Т.о. он сможет самоокупаться не тогда, когда его прибыль будет не отрицательной, а тогда, когда $TR_{t-1}=TC_t$
Вобщем объяснил, как мог)
Есть еще один способ нахождения $t$, даже можно получить из твоего равенства, на мой взгляд чуть яснее дает понять почему же далее у нас все будет ровно.
Тогда решаем точно также, как и равенство и получаем промежуток при котором неравенство верно [11;+беск)
Значит в дальнейшем выручки за прошлый год хватит на покрытие текущих издержек.
Дело в том, что выручка $ TR_{t-1} $ при $ t=11 $ станет $ TR_{10} $, которая будет получена в 10 году ;)
Ну ладно, сумму долга нашли, что дальше? :)
Но в принципе нужно решить вот это:
$14360*\sqrt[15]{1,055}^{n-11}=TR_{11}-TC_{12}+TR_{12}-TC_{13}+...+TR_{n-1}-TC_n$
Верно?
Для начала, долг в любом случае будет $ 14360\sqrt[15]{1,055^n} $ через $ n $ лет .
Дальше нужно понять, когда мы пытаемся отдать долг.
Я тебе гарантирую, когда ты найдёшь решение, ты поймёшь, что это ОНО.
Мне кажется,что в 30=)
Долг попытаемся отдать когда накопим достаточную сумму. Но при этом я думаю, что эта сумма будет накапливаться не из прибылей в конкретный год, а из разницы TR за предыдущий и TC за текущий год. Иначе когда он пойдет отдавать долг, ему не останется на TC и он не сможет работать.
Rizz, подумай получше и может вернись к своей табличке, чтобы понять из чего же складывается "сумма на руках" чтоб посчитать когда нам хватает денег.
Если все же это правильно, тогда
$14360*\sqrt[15]{1,055}^n=(TR_{11}+TR_{12}+...+TR_n)-(TC_{12}+TC_{13}+...+TC_{n+1})$
О равенстве в последнем уравнении говорить не стоит, почитай внимательно условие,тогда поймешь почему. Во вторых, я не понимаю зачем так усложнять, то что у тебя в правой части, почему ты ведешь счет с 11го года, когда намного проще пойти от первого, тем более зная сумму одолженную(14360)?И вообще советую очень внимательно отнестись к словам условия, это должно помочь)
год TR TC
1 100 80
2 110 90
По идее прибыль за 1 год равна 20, но если мы всю её заберем( в нашем случае отдадим долг), то нам не останется на дальнейшую работу во 2 году. Мы можем забрать только 10 (TR1-TC2), только в этом случае мы сможем продолжать работать.
Но если считать как говоришь ты, тогда:
$$x=14360*\sqrt[15]{1,055}^t-\frac{t(2t^2+123t-2138)}{3}$$
где x - цена зуба. При этом x должен быть минимальным из всех возможных и больше нуля.
Эта формула верна?
Эта формула есть чрезмерное усложнение происходящего.Rizz(как тебя зовут?), представь пусть у нас в начале есть миллион денег, то есть мы буквально безгранично обеспечены, как тогда сосчитать сколько денег у нас на какой либо период времени накопится?
Да, попутал.
update: Хотя нет, всё правильно было, прибыль в моменты от первого года до года $ a $, в котором мы находимся.
Честно говоря, я так и не понял, чего вы от меня хотели=)
Сумма на руках равняется тому, что вы написали выше. В какой-то момент $a$ она станет равна $14360\sqrt[15]{1,055}^a$.
Отсюда выражаем цену зуба. Как найти цену не используя этих формул до меня не доходит.
Цена зуба 4,8?
Вчитался - таки в условие? :)
Только еще для полноты, нужно доказать,если ты еще не доказал, что такое $t$, очевидно 15, это единственное, которое удовлетворяет условию, но это достаточно просто.