Задача

В подборках

2.5 Кое-что о кривой торговых возможностей

Раздел

Темы

Сложность

6.83333
Средняя: 6.8 (6 оценок)

Автор

08.03.2011, 14:11 (Данил Фёдоровых)
11.06.2015, 03:58
Жители маленькой страны S производят потребляют товары $X$ и $Y$. Страна имеет КПВ следующего вида: $X^2+Y^2=100$. На мировом рынке в обмен на две единицы товара $X$ можно купить или продать $\sqrt{3} $ единиц товара $Y$. Известно, что товары $X$ и $Y$ для жителей страны S являются совершенными комплементами, то есть жители страны получают максимальное удовольствие при потреблении их в определенной пропорции. Найдите эту пропорцию, если известно, что оптимальным для страны решением является быть автаркией (не вести международную торговлю).

Комментарии

Может ли существовать бесконечное количество таких пропорций?
пропорция 1х : 0.75у?
Дано, что за 2 единицы товара Х "дают" корень из 3 ( впоследствии обозначается к3) единиц товара У. Из этого следует, что Рх:Ру= к3 : 2.
КПВ Автаркии - окружность, следовательно, любая изокоста (кривая с одинаковой выручкой) является касательной к графику КПВ и пересекает его всего один раз.
Следовательно, при международной торговле мы будем получать больше товаров Х и (или) У при любой пропорции их потребления, кроме той пропорции, которая проходит через точку касания.( Пропорция графически - прямая вида У = к*Х). Дано, что оптимальный для нас случай - не ведение международной торговли, следовательно, задана такая пропорция потребления, что международная торговля не приносит дохода стране, следовательно, искомая пропорция "проходит" через точку касания КПВ изокостой.
Изокоста: некая прямая вида У = а - (к3)/2*Х.((к3)/2 = Р1/Р2). КПВ представлена окружностью, следовательно, изокоста касательная, следовательно, график, содержащий пропорцию является радиусом окружности и перпендикулярен касательной. Для двух перпендикулярных линейных функций справедливо: к1*к2 = -1. к1 = -(к3)/2, следовательно к2 = 2/(к3), следовательно, график пропорции: У=2/(к3)*Х; У/Х = 2/(к3).
Я просто тупо решила систему 2X = корень из 3
X2 + Y2=100
так же получилось
А в чем смысл первого уравнения?
Стоимость двух x равна стоимости корня из трёх y
По-моему, если в уравнение $2X=\sqrt{3}$ (или даже $2X=\sqrt{3}Y$, которое вы, наверное, имели в виду) подставить $X=2$ и $Y=\sqrt{3}$, не получится верного равенства.

Аделя, научитесь, пожалуйста, отвечать на тот комментарий, к которому относится ваш ответ, а не на всю задачу. Спасибо.

Почему? мы же подставляем у=2 и х=корень из3. т.к. У/Х = 2/(к3). вроде бы все сходится.)
У меня получилось x=0.75y. Это верно?
Нет. Пишите решение.
Я перерешал. Ошибка была в вычислении. Сейчас получилось: $X=\sqrt{3}/2*Y$
y/x>=√3/2, т.к. (√(100-x^2))'>=-2/√3 (выгодней производить у себя, чем покупать).
Верно ли следуещее решение: цена на Х - Px, на Y - Py, пропорция Y/X = k. 2Px = √3 Py, Y^2 + Y^2/k^2 = 100 => k = Y/(√(100 - Y^2)), тогда потребители будут максимизировать свое потребление, при этом максимизируя полезность, покупая в нужной пропорции => PyY + PxX = PyY + √3/2PyY/k = PyY + Py√3/2 √(100 - Y^2) -> max по Y. Прираняем производную к 0, проверим 2-ю производную на отрицательность ( действительно ли мы нашли максимум?). Py - P√3/2 * Y/(√(100 - Y^2) = 0. Решаем, получаем Y^2 = 400/7. Подставляем в k = Y/(√(100 - Y^2)), получаем k = 2/√3.
X=10√(3/7). Y=20√(1/7).

Другие задачи из этой же подборки

ЗадачаБаллы
Вакцинация15
Гаджеты и виджеты -2 или кривая торговых возможностей
11-й класс
ЗадачаБаллы
Маленькая автаркия
9-й класс
ЗадачаБаллы
Маленькая автаркия