Функция предельного дохода монополиста имеет вид
$$\MR(Q)=\sqrt{16-Q^2}.$$
(Величина спроса на продукцию фирмы не превышает четырех единиц ни при какой цене).

  1. Какую цену назначит фирма, преследующая цель максимизации выручки?
  2. Каков коэффициент эластичности спроса по цене при $P=3$?

Комментарии

Гули Холматова
22.03.2011 04:16    
1) Ну, если мы хотим максимизировать выручку, то нужно назначать как можно бОльшую цену. Ведь потребители все равно купят 4 штуки этого товара.
2)Спрос совершенно неэластичен, поэтому при цене 3, как и при любой цене, эластичность спроса по цене = 0
Алексей Суздальцев ↑
22.03.2011 04:28    
1) Сказано, что они не готовы покупать больше 4. Но не сказано, что они готовы покупать 4 при любой цене. Все гораздо интереснее.

2) Тоже не факт)

Гули Холматова
22.03.2011 04:57    
Ага, тоже была мысль, что я могла неверно условие понять. Но,как видите, эта мысль покинула меня так же быстро, как и появилась.
1) Окей, тогда попробуем восстановить функцию выручки. Я сделала это на вольфраме(уже 4 утра...):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%2816+-+x%5E2%29%5E1%2F2

То, что там вышло, это величина P*Q. Предельная выручка равна нулю, если Q=4. Следовательно, оптимальный объем мы уже знаем. Осталось найти цену. Это сделаем из функции спроса => восстанавливаем Pd делением выручки на Q.Дальше туда подставляем Q=4, но там уже значение цены не очень красивое выходит... 2/sin(1)

Тимур Аббясов ↑
22.03.2011 05:17    
Вроде должно получиться "красивое" значение цены. Да и интегралы, они - воплощение зла.
Гули Холматова ↑
22.03.2011 05:21    
А ты решал? Походу все уже пошли спать.
пс. я только что название задачи прочитала)
Тимур Аббясов ↑
22.03.2011 05:29    
Да) Как видишь, не совсем все
P.S. бывают же красивые иррациональные числа (например, корень из ста семнадцати, чем не число-красавчик?)
Гули Холматова ↑
22.03.2011 09:12    
Тимур)
Окей, ну со вторым пунктом все понятно тогда, приду со школы - решу.
Дмитрий Сорокин ↑
22.03.2011 09:22    
Фишка задачи в том, чтобы не пользоваться Вольфрамом :)
Михаил Борисов
22.03.2011 12:21    
1) $P = П$ (число пи)
2) Пока получил, что $Q\geqslant$ $\sqrt{7}$
Михаил Борисов
22.03.2011 12:42    
2) $E_{d}^{P}= \frac{1}{E_{d}^{Q}}= \frac{MR(Q)}{P}-1$
Как найти $MR(Q)$ при цене $P$ ?
Алексей Суздальцев ↑
22.03.2011 12:56    
По идее нужно найти $Q$ при этом $P$ и подставить его в $\MR$.

Но не факт, что эта формула здесь сработает.

Попытайся представить как в нашем случае выглядит спрос ниже оптимальной цены, и все должно стать яснее.

Михаил Борисов
22.03.2011 13:06    
Раз функция спроса убывает ( из эластичности выручки можно понять, что это так), то при цене $P=3$ , $Q>4$ (так как найденное $P=П>3$ ,значит функция там не существует. Возможно, эластичность равна 0?
Алексей Суздальцев ↑
22.03.2011 13:45    
"Функция не существует" - сильно сказано. При $P=3$ функция спроса вполне определена, просто ведет себя не так, как при некоторых более высоких ценах. Порисуй график спроса. Насчет нуля хорошая догадка)
Глеб Ярных ↑
25.03.2011 00:45    
Производная фукнции будет 0 при Q>4, из-за этого эластичность 0?
Что-то не очень понятно со вторым пунктом)
Михаил Борисов
22.03.2011 15:18    
Кажется, понял) При $0\leqslant Q<4$ Функция спроса убывающая, при $Q=4$ функция вертикальна, так? Тогда эластичность правда равна 0)
Антон Воробьёв
22.03.2011 15:28    
может при p=3 q=0 и эластичности не существует ?
Антон Воробьёв
22.03.2011 15:40    
.
Алексей Суздальцев
22.03.2011 15:46    
Ничего себе формула)

Но при цене 3 объем ненулевой, проверь еще. Наверно ты переусложнил немного, увлекся слишком сильно алгеброй)

Михаил Борисов
22.03.2011 15:57    
Вопрос: А можно ли, не интегрируя, найти эластичность спроса при цене, например, $P=3,5$ ? )
Гор Шатворян ↑
25.03.2011 21:01    
Да)
Сначала найдем $Q$
$\frac{TR}{Q} = 3,5$, где $TR = \frac{1}{2}*Q*\sqrt{16-Q^2}+8(\frac{\pi}{2} - arctg(\frac{\sqrt{16-Q^2}}{Q})) $

Ну а потом уже все просто)
Если я не ошибаюсь)

Дмитрий Сорокин ↑
23.03.2011 14:18    
Хочешь сказать, что ты не интегрировал тут? :)
Гор Шатворян ↑
23.03.2011 14:28    
Нет. Это площадь треугольника + площадь сектора) (я в курсе, что в этом и есть смысл интеграла, но я геометрически считал)
Дмитрий Сорокин ↑
23.03.2011 16:35    
Ок, понял :)
R K ↑
23.03.2011 18:07    
у меня получилось так же,за исключением одного, у меня arcsin(Q/4).
где ошиблась?
Гор Шатворян ↑
23.03.2011 19:25    
А как ты считала?
R K ↑
23.03.2011 20:06    
ну я тоже взяла как площадь треугольника и сектора
там получается угол (который нужен для вычисления площади сектора ), пусть он будет альфа.
$sin\alpha =\frac{q}{\sqrt{q^{2}+16-q^{2}}}=\frac{q}{4}$
откуда $\alpha =arcsin\left ( \frac{q}{4} \right )$

если я правильно понимаю то также этот угол можно найти как $\frac{\pi}{2}-\arcsin\left ( \frac{\sqrt{16-q^{2}}}{4}\right ) $

Ваня Бредихин
10.03.2019 00:15    
Цена действительно равна Pi , это легко можно посчитать, заметив, что MR это четверть круга (возведя в квадрат и приведя это к каноническому уравнению окружности) . В б пункте эластичность 0