Задача

В олимпиадах

Сибириада. Шаг в мечту — 2012

Раздел

Темы

Сложность

8.25
Средняя: 8.3 (4 оценок)

Автор

01.03.2012, 18:33 (Данил Фёдоровых)
26.05.2015, 17:25
Молодой преподаватель экономики снимает квартиру в городе N. В начале каждого месяца он платит за аренду 26 000 руб., снимая деньги со своего счета в банке. Ежемесячно на сумму остатка на счете банк начисляет 1 %.

Придя в начале очередного месяца за деньгами, хозяин квартиры предложил молодому экономисту следующую «сделку»: если сейчас арендная плата будет внесена сразу за $k>1$ месяцев, то арендная плата за каждый из этих месяцев составит 25 000 руб. Значение $k$ определяет сам арендатор.

Стоит ли экономисту соглашаться на это предложение? Если да, то каково оптимальное для него значение $k$?

При решении учитывайте, что до окончания договора аренды остается ровно год, и преподаватель, принимая решение, максимизирует сумму, которая останется у него на счете на эту дату. Кроме того, предполагайте, что сумма, которая имеется на счету у арендатора, достаточно велика: ее хватит для оплаты аренды в течение года при любом выбранном варианте.

Комментарии

Мне кажется, надо выбрать такое k, что $1.01^k>\frac{26}{25}>1.01^{k-1}$.
Отсюда, k=4.
Похоже на правду) А как ты до этого дошел? (Интересно, вдруг у тебя решение проще, чем у меня).
Если в начале на счету L рублей, то запишем выигрыш от произвольного k. Будем записывать его в ценах сегодняшнего дня:
$W = L-25000k - \frac{\overset{k (times)}{(L-26000)1.01-26000...)1.01}}{1.01^k}=(26000-25000) + (\frac{26000}{1.01}-25000) + ... + (\frac{26000}{1.01^{k-1}}-25000)$.
Очевидно, что он максимален при указанных в моем ответе условиях.
может это и неправильно, но я решила вывести формулу остатка на его счете. у меня получилось так:
остаток равен:
, где X-первоначальная сумма на счете, а Sk-1 - сумма геометрической прогрессии с первым членом b1=1,01 и знаменателем q=1,01
я на верном пути или делаю ненужные действия?
Формула, похоже, верная, и она пригодится. Но сумму прогрессии для решения считать совсем не обязательно!
получается,что первые k месяцев остаток формируется по формуле , а в оставшиеся 12-k месяцев - по той, что я написала выше, да?
и максимизирует он ту сумму, которая останется к концу года?
Да, но в формуле, которая выше, $k$ означает не выбранное им значение $k$, а сколько месяцев остается до конца. В ваших двух формулах под буквой $k$ скрываются разные вещи.
итак, он выбрал k месяцев и по их прошествии на счету осталась сумма равная
далее, у него есть еще 12-k месяцев, в которые он будет платить по стандартной схеме 26000 рублей в месяц.
получается, нужно с этой суммой , оставшейся после k месяцев, работать по первой формуле , но вместо k использовать (12-k)?
видимо, я что-то недопонимаю, но уже полдня не могу дойти до красивого ответа)
Да, и вместо $x$ во второй формуле брать значение первой формулы)

Мне кажется, Вам будет легче понять, что здесь происходит, если Вы найдете в общем случае, какова будет сумма на его счету в конце года, если он в конце первого месяца заплатит $A_1$ рублей, в конце второго - $A_2$
рублей, и.т.д., в конце двенадцатого месяца - $A_{12}$ рублей.

Разные схемы оплаты отличаются лишь значениями $A_i$. Например, если он не согласится на предложение, то все $A_i$ равны 26. А если согласится заплатить на 2 месяца вперед, то $A_1=50$, $A_2=0$, $A_3=A_4=\ldots=A_{12}=26$.

Так Вам будет легче сравнить все схемы (хотя я еще не дал подсказки о том, как это конкретно сделать. Скажу лишь, что считать сумму прогрессии для этого абсолютно не обязательно).

а если все-таки сделать как я описывала выше, там же будет выражение с X и k. Его нужно просто максимизировать по X?
По $k$, наверное, вы имели в виду.
Ну, если это действительно просто, попробуйте сделать.
Да, по k, конечно.
Там действительно совсем не просто, но ведь этот способ тоже должен привести к правильному ответу)
Вот это далеко и не просто, там получается какой-то бред, который не считается без инженерного калькулятора.
Там точно есть еще какой-то способ, который я не помню с разбора
Этот способ выглядит примерно так: W(k)=W(K+1)
Выложите, пожалуйста, официальное решение.)
Поддерживаю Аню, можно официальное решение этой задачи, пожалуйста
и я тоже за, а то вдруг будет рациональная аренда-3 на всеросе)
К сожалению, пока нет времени оформлять здесь официальное решение. Подумайте сами, тем более что и я, и Петр Мартынов дали некие подсказки. На Всеросе у Вас не будет возможности попросить показать решение! )
Попробуйте сначала решить задачу с помощью Excel или другого софта - так, скорее всего, Вы бы и сделали в жизни, если бы попали на место героя задачи. Может, после этого будет легче найти и "олимпиадное" решение;
но в любом случае, так Вы разовьете еще один полезный навык.
Я постарюсь на выходных найти время и выложить.
Решение выложено.
Эхх,и почему я невнимательно слушала разбор на Сибириаде(
Спасибо, с решением гораздо лучше)