Рыночная власть и эффективность при вертикальном взаимодействии

Фирма А покупает у фирмы B товар B, делает из него товар A по технологии, которая описывается производственной функцией f, и продаёт его по не зависящей от неё цене $P_{A} $. Издержки фирмы B задаются функцией $TC$. Таким образом, прибыли фирм:
\[\begin{array}{l} {\pi _{A} =P_{A} Q_{A} -P_{B} Q_{B} } \\ {\pi _{B} =P_{B} Q_{B} -TC(Q_{B} )} \end{array}\]
Все параметры и функции известны обеим фирмам.

Возможные предположения о структуре рынка товара B:

• Предположение C (competition). Обе фирмы воспринимают цену $P_{B} $ как заданную и верят в то, что они могут купить/продать любое количество товара по данной цене.
• Предположение B. Продавец (фирма B) устанавливает цену $P_{B} $ и обязуется продать по ней любое количество, которое пожелает купить покупатель (фирма A).
• Предположение A. Покупатель (фирма A) устанавливает цену $P_{B} $ и обязуется купить любое количество, которое пожелает продать продавец (фирма B).

Пусть $P_{A} =2$, $f(Q)=60Q-Q^{2} $, $TC(Q)=Q^{2} $.

Задания:

1. Составьте таблицу: для каждой структуры рынка (C,B,A) посчитайте равновесные значения $Q_{B} ,P_{B} ,\pi _{A} ,\pi _{B} ,\pi _{A} +\pi _{B} $
2. Какие структуры рынка приводят к эффективному исходу, а какие — нет?
   * Зависит ли это от конкретных функций f и TC? Докажите.
3. Упорядочите структуры рынка по предпочтительности с точки зрения той или иной фирмы.
   * Зависит ли этот порядок от конкретных функций f и TC? Докажите.

Справка. Исход — это комбинация действий участников (в данном случае — кто сколько чего производит и сколько кому платит; участники — фирмы A и B). Исход называется эффективным, если физически невозможны такие альтернативные действия участников (т.е. такой альтернативный исход), при которых каждому из участников было бы не хуже, чем в первом исходе, и хотя бы одному участнику было бы лучше.