Вклад Андрея

1. За n лет в первом банке ( в «Первом городском банке») исходная сумма a + b возрастёт до величины
$$a\left(1+\frac{p}{100}\right)^n+b\left(1+\frac{q}{100}\right)^n=\frac{a(p+100)^n+b(q+100)^n}{100^n}$$
а во втором банке (банке «Сирена») — до величины:
$$(a+b)\left(1+\frac{p+q}{200}\right)^n=\frac{(a+b)(p+q+200)^n}{200^n} $$
Для краткости введём обозначения $p + u = 100$ и $q + v = 100.$ Тогда в первом случае получим величину
$$\frac{au^n+bv^n}{100^n} \ (1)$$
а во втором — величину:
$$\frac{(a+b)(u+v)^n}{200^n} \ (2)$$
Очевидно, что если в числителе дроби (1) число a уменьшить на некоторую величину, а b увеличить на ту же величину, то вся дробь возрастёт. Поэтому наибольшее значение суммы, до которой может возрасти вклад в первом банке равно:
$$\dfrac{a+b}{2}\cdot \dfrac{u^n+v^n}{100^n} \ (3)$$
Докажем, что для любого n >1 справедливо неравенство
$$\frac{a+b}{2}\cdot \dfrac{u^n+v^n}{100^n} >\dfrac{(a+b)(u+v)^n}{200^n}$$
Разделив обе части на $\dfrac{a+b}{100^n}$, получим равносильное неравенство:
$$\dfrac{u^n+v^n}{2} >\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^n$$
Это неравенство можно легко доказать множеством разных способов, например, используя метод математической индукции, заметив, что оно выполняется, начиная с n=2, или используя свойство монотонности данных последовательностей, сделав определенные алгебраические преобразования, вычислить пределы при n стремящимся к бесконечности правой и левой части.
Приведём следующий вариант доказательства.
Разделим обе его части на $v^n$
$$\dfrac{(u/v)^n+1}{2} >\left(\dfrac{u/v+1}{2}\right)^n$$
Заметим, что по условию $0 \lt \dfrac{u}{v}\lt1 $. Рассмотрим на промежутке (0;1] функцию: $f(x)=\dfrac{x^n+1}{2}-\left(\dfrac{x+1}{2}\right)^n$
Так как $f'(x)=\dfrac{1}{2}nx^{n-1}-\dfrac{1}{2}n\left(\dfrac{x+1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{n}{2}\Biggl(x^{n-1}-\left(\dfrac{x+1}{2}\right)^{n-1}\Biggr)$
и $x\lt \dfrac{x+1}{2}$ при $0 \lt x \lt 1$, то на этом промежутке $f'(x) < 0 $, и, следовательно, функция f строго убывает. Так как $f (1) = 0$, то при $0 \lt x \lt1$ справедливо неравенство $f(x)>0$

2. Проценты, начисленные в банке «Сирена» за два года будут не меньше, чем в первом в том и только в том случае, если выполняется неравенство:
$$au^2b+bv^2 \leq (a+b)\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^2$$
т.е. если
$$\begin{array}{c}a\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^2-au^2 \geqslant bv^2-b\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^2 \\
a\Biggl(\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^2-u^2\Biggr) \geqslant b\Biggl(v^2-\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^2\Biggr) \\
a(v-u)(3u+v) \geqslant b(v-u)(u+3v)\end{array}$$
Учитывая того, что $v > u$, получаем, что последнее неравенство равносильно неравенству:
$$\dfrac{a}{b} \geqslant \dfrac{u+3v}{v+3u}$$
Подставляя u=104, v=114 в последнее неравенство, получаем: $\dfrac{a}{b} \geqslant \dfrac{446}{426} \approx 1,05$