На некотором рынке спрос строго убывает, а предложение строго возрастает. Более того, $P_s'(Q)>0$ для любого $Q>0$, где $P_s(Q)$ - обратная функция предложения.
Если бы производители объединились и стали действовать как монополист, то они бы установили оптимальный выпуск $Q_m$. Но вместо монополиста на этом рынке действует Иван Барыга, который устанавливает две цены:

$P_{low}$, по которой он покупает некоторое количество товара у производителей, и $P_{high}$, по которой он продаёт этот товар потребителям. Оптимальный для него объём продаж равен $Q_b$. Что больше: $Q_m$ или $Q_b$? 

Комментарии

Q_b>Q_m?
А изначально какой тип рынка был?При совершенной конкуренции у меня получилось,что Qb>Qm
Интересная задача!
Решающим на заметку:
Барыга установит тот же объем, что и государство, максимизирующее сумму налоговых поступлений...
(подумайте, почему это так).

Ну а ответ у всех, к сожалению, неправильный...

чтобы получить какую-то прибыль ему нужно назначить цену больше, чем по которой он купил (:. Тогда вот этот переход от P{low} к P{high} очень напоминает введение налога государством, и объём, соответственно, уменьшится. как-то так.
Так и при монополии объем будет меньше, чем при конкуренции...
Вопрос в том, что сильнее уменьшит рыночный выпуск: монополизация или введение государством налога (причем не простого, а максимизирующего - ведь Иван соответствует своей фамилии - сумму налоговых посутплений)?
стоп. а причём здесь вообще конкуренция. он же покупал у монополии, правильно? следовательно должен продать так чтобы прибыль была больше затрат, а тоже количество, как и большее он продать не сможет не получив убытка, монополия уже установила макисмально возможную цену, значит ему нужно купить объём меньше q монополии.
Нет-нет, Барыга покупает не у монополии, а у производителей, которые принимают цену, которую назначает Барыга. Можно сказать и так - у нас есть два рынка: на первом рынке Барыга покупатель-монопсонист, а продавцы - производители (их кривая предложения известна); на втором барыга - продавец-монополист; спрос покупателей известен.
Как верно заметил Лёша, всё это эквивалентно вмешательству государства, которое устанавливает потоварный налог.
так теперь моя очередь,а то чуть проспал...)))
Ps=m+nQ-предложение
Pd=a-bQ-спрос
MR=a-2bQ
монополия:
MR=MC=Ps
m+nQ=a-2bQ
Qm=(a-m)/(n+2b)
барыга:
t=(Pmax-Pmin)/2
Pmax=a
Pmin=m
t=(a-m)/2
Pd_1=a-bQ-t=a-bQ-(a-m)/2=(a+m)/2-bQ;
Pd_1=Ps
m+nQ=(a+m)/2-bQ
Qb=(a-m)/(2b+2n)
так как знаменатели Qb и Qm равны,а числитель больше в Qb(в силу того что спрос строго убывает,а предложение строго возрастает,все коэфицыэнты неотрицательны),то можем сравнить эти два выражения
Qm>Qb
Кто сказал, что все линейно?
К тому же, неплохо было бы пояснить, откуда берется оптимум Барыги.
.
Цитата: "в силу того что спрос строго убывает,а предложение строго возрастает,все коэфицыэнты неотрицательны"

Коэффициент коэффициенту рознь. n и b не просто неотрициательны, а положительны - в силу того что спрос строго убывает, а предложение строго возрастает; коэффициент a тоже строго больше нуля, потому что иначе такой спрос не будет иметь смысла; а вот m может быть и меньше нуля (тогда по сути предложение будет выглядеть так: Ps=0 при Q<-m/n и Ps=m+nQ при Q>-m/n).

А в остальном присоединяюсь к Лёшиному комментарию.

Qb=Qm?
Почти всегда нет.
Если Барыга действует в точке оптимума монополии, то его прибыль равна (P_m - MC_m)*Q_m

(1)Действия Барыги сходны с действиями государства по взиманию налогов. Известно, что Кривая Лаффера имеет максимум, и только один, поэтому если общая прибыль Барыги при неком Q_1 > общая прибыль при Q_2, а Q_1 < Q_2, то оптимум находится левее или в точке Q_1.

Рассмотрим его прибыл в точке Q_b < Q_m
Profite= Q_b(P_high - P_low), Q_b < Q_m, P_high > P_m, P_low < MC_m (в силу возрастания предложения и убывания спроса).
Пусть Q_b=(1-k)Q_m, k<1
P_high=(1+b)P_m, b>1
Но при предельно маленьких к и b верно, что b=E/к.

Подставим это в Profite и сравним с прибылью Барыги от Q_m

(1-k/e)(1-k)Q_m*P_m -(1-k)Q_m*P_low V (P_m - MC_m)*Q_m
Но все это берется исходя из условия, что к предельно мало, поэтому возьмем предел левого выражения при к стемящемся к 0, а также сократим на Q_m.
(P_m - P_low) V (P_m - MC_m).
Но P_low < MC_m, тогда левая часть больше правой, значит при малейшем снижении Q по сравнению с Q_m прибыль Барыги вырастет, а согласно (1) его оптимум левее Q_m.
Q_b < Q_m
Не судите строго))))

1)"Известно, что Кривая Лаффера имеет максимум, и только один" - откуда известно, колитесь! Я в этом факте сомневаюсь (см. новую задачу).

2) В своём решении вы, видимо, вместо b=E/к хотели написать b=-k/E?

3) Когда вы переходите к пределу и считаете k=0, то в этом предельном случае P_low=MC_m. То есть вы просто приехали в точку монопольного оптимума, и никаких содержательных выводов от такого предельного перехода получить не удаётся.

1)Если фирмы будут действовать как монополист,то точка оптимума будет пересечением MR с кривой предложения,т.к она будет для картеля кривой предельных издержек.

2)Кривая рыночного предложения для Ивана будет кривой средних переменных издержек.По условию,кривая предложения монотонно возрастает,значит кривая предельных издержек Ивана будет выходить из одной точки вместе с кривой рыночного предложения и будет лежать левее кривой предложения.Точкой оптимума для него будет точка пересечения MR c кривой предельных издержек.

3)Точками Qm и Qb будут являться точки пересечения с МR кривой предложения и кривой предельных издержек Ивана соотвественно,т.к прямая предложения лежит правее.значит Qm>Qb

Только в этом решении я сильно не уверен

Почему не уверен? Решение правильное. А чтобы увериться в нём, советую таки написать обоснование пункта 2). Еще, пункт 3) написан довольно небрежно. Насколько я понимаю, вы имели в виду следующее:
3)Точками Qm и Qb будут являться точки пересечения МR с кривой предложения и кривой предельных издержек Ивана соотвественно. Т.к. кривая предложения лежит правее, то Qm>Qb.
В ситуации монопсонии цена предложения - средние издержки всех производителей. Sмонопсониста=AC
По мере увеличения Q цена предложения растет, значит растут и предельные издержки. Кривая MC окажется над кривой AC, но при этом они будут выходить из 1 точки.
Второй пункт надо доказать) Друид его просто постулирует.
Полностью доказывать второй пункт или какое-нибудь утверждение из него?
Просто второй пункт. Остальное более-менее объяснено.
Заранее извиняюсь,но на нормальное обоснование смогу написать только через неделю(сейчас,ночью,уже плохо соображую,а с утра уезжаю на олимпиаду)
Ребят, не знаете в какой учебной литературе есть описание этой ситуации, то есть переход между рыночными структурами, желательно с задачками.
Вау))) Да, все понятно)))

Ну про кривую Лаффера известно из учебников макроэкономики, собственного опыта и здравого смысла))) Хотя, если постараться, то можно извернуться, как всегда в экономике. Уже уехав из дома я стал сомневаться как раз в P_low=MC_m, просто пределов я не знаю, а это все, что родилось в моей голове))))

У меня два вопроса:
1) Все ли поняли доказательство Druid'а (пункт 2)?
2) Действительно ли это можно обосновать без формул (без дифференцирования)?

И еще: эту задачу можно решить по картинке без кривых MR и MC (сравнить изменения прибыли монополиста и Барыги от небольшого увеличения выпуска). Попробуйте решить таким способом для разнообразия.

хотелось бы расписать пункт 2))
Ну вообще-то, несмотря на то, что я согласен с решением Друида, много исключений. Его решение верно для стандартной модели. Вот например для кривой с постоянной эластичностью -1 выйдет полная ересь. Так что такие вещи никогда нельзя утверждать на все 100.

Я старался сравнить прибыли при маленьком увеличении, но у меня не вышло, как Вы уже поняли. =) Не знаю, можно ли в общем случае доказать, что при небольшом уменьшении выпуска Барыга получит большую прибыль, но было бы интересно глянуть. Я пытался приплести индекс Лернера (как нечто единственное, что может помочь собрать воедино все необходимое для максимизации прибыли монополии данные), но ничего толкового не вышло, кроме того, что прибыль Барыги в точке оптимума монополиста= TR_m\E, где Е - эластичность в точке оптимума по модулю, а TR_m - выручка монополии.

В данном случае,скорее всего,в обеих ситуациях будет производится минимально возможный обьем продукции,поэтому Qm будет ровно Qb.
Так что согласен,что решение не совсем полное.
Если эластичность спроса (по модулю) нигде не превышает единицы, то оптимума монополиста не существует: чем меньше выпуск, тем больше будет прибыль, но это при положительном выпуске; а при нулевом (он же минимально возможный) прибыль будет меньше, чем при небольшом положительном.
В условии задачи сказано: "Если бы производители объединились и стали действовать как монополист, то они бы установили оптимальный выпуск $Q_m$", то есть предполагается, что оптимальный выпуск монополиста существует. Поэтому функция спроса, эластичность которой везде равна -1, не подходит под условие задачи.
С чего? Их оптимум был бы при небольшом положительном Q и вполне себе существовал бы!
С того что если Q чуть-чуть уменьшить, то прибыль вырастет, т.к. издержки падают, а выручка не меняется.
Так миллион раз это обсуждали. Предполагается, что меньше, чем, например, одну единицу они произвести физически не могут. Естественно, без ограничения на минимальный объем оптимума не существует. Но ведь в условии не сказано, что этого ограничения нет.

Не будем спорить - этот случай и вправду не интересен. Если такой минимальный объем существует, то и Барыга выберет его.

Да-с, возможно, возможно...
монополист будет максимизировать прибль по условию mr=mc
далее я считал что кривая mc для монопсониста и моноплии одинакова тк монопсонист будет скупать товар у совершенных конкуретов по цене равной mc каждого из них
(это мое предположения как работает монопсония я не знаю!)
монопсонитса интересует "налог" то есть разница в ценах умноженная на количество (Phigh-mc)*Q=Tx=TR-mc*q
чтоб найти максимум возьмем производную и приравняем к нулю получается mr-mc-(dmc/dq)*q=0 поэтому
mr=mc+(dmc/dq)*q тк производная мс по q >0 то выражение в правой части равенства будет не меньше mc для любого q
поэтому данное равенство будет соответсвовать меньшему по сравнению с монопольным q тк чем больше mr тем меньше q

МНЕ НЕ ПОНЯТНО КАК ДЕЙСТВУЕТ МОНОПСОНИСТ (он скупает товар по цене предельных издержек его производства?) ОБЪЯСНИТЕ!!!
ПОЖАЛУЙСТА И ПОЧЕМУ AC ЯВЛЯЕТСЯ ЕГО КРИВОЙ ПРЕДЛОЖЕНИЯ?

Решение правильное.
Барыга назначает две цены: одну он говорит производителям, другую потребителям (друг о друге производители и потребители, считайте, не знают). Барыга знает, что зависимость между ценой, которую он назовёт производителям, и количеством товара, которое они согласятся по этой цене продать, задаётся кривой их предложения (она совпадает с кривой MC монополиста, то есть с кривой общих MC, если бы они все объединились).
Для монополиста эта кривая - MC, а для Барыги - AC (просто вспомните определения MC и AC).

"ПОЧЕМУ AC ЯВЛЯЕТСЯ ЕГО КРИВОЙ ПРЕДЛОЖЕНИЯ?"
Наоборот, MC (монополиста) является его (Барыги) кривой AC:)
А кривой предложения у Барыги нет, т.к. он сам устанавливает цену, по которой продаёт товар потребителям (то есть это известное утверждение о том, что у монополиста нет кривой предложения).
Точно также у Барыги нет кривой спроса, т.к. он сам устанавливает цену, по которой покупает товар у производителей. Доказывается ровно так же, как и отсутствие кривой предложения у монополиста: для одних и тех же значений цены могут быть разные оптимальные объёмы в зависимости от кривой предложения производителей.

>он скупает товар по цене предельных издержек его производства?

Он скупает товар по определенной цене, которая по сути является его издержками на единицу продукции. А так как монопсонист представляет собой всю отрасль - кривая предложения будет не MC (как у конкурентной фирмы), а AC.

у монопсониста вообще кривая спроса есть?
если где-то в нете можно про это почитать киньте ссылку
Ребята, я добавил требование $MC'(Q)>0$ в условие и выложил решение.