Кусочки курно

а) Найдем суммарный спрос мужчин и женщин:
$$P =\begin{cases}
120-Q,\text{ $Q\le60$;} \\
90-0.5Q,\text{ $60 < Q\le180$.}
\end{cases}$$
Выпишем прибыль первой фирмы:
$$Pr_1=PQ_1-Q_1^2=\begin{cases}
(120-Q_2-Q_1)Q_1-Q_1^2, Q_1+Q_2\le60; \\
(90-0.5Q_2-0.5Q_1)Q_1-Q_1^2, Q_1+Q_2 > 60.
\end{cases}$$
$$Pr_1=\begin{cases}
(120-Q_2)Q_1-2Q_1^2, Q_1\le60-Q_2; (1)\\
(90-0.5Q_2)Q_1-1.5Q_1^2, \text{ } Q_1 > 60-Q_2. (2)
\end{cases}$$
Теперь методом кусочной оптимизации найдем оптимальный $Q_1$ в зависимости от $Q_2$:
(1) $$Q_1=\begin{cases}
\frac{120-Q_2}{4}=30-0.25Q_2, Q_2\le40; \\
60-Q_2, Q_2 > 40.
\end{cases}$$
Подставляем это в прибыль 1-й фирмы:
$$Pr_1= \begin{cases}
1800-30Q_2+0.125Q_2^2, Q_2 \le 40; \\
120Q_2-1.5Q_2^2-1800, Q_2 > 40.
\end{cases}$$
Тоже самое сделаем для (2):
$$Q_1=\begin{cases}
30-\frac{1}{6}Q_2, Q_2 > 36; \\
60-Q_2, Q_2 \le 36.
\end{cases}$$
$$Pr_1=\begin{cases}
1350-15Q_2+\frac{1}{24}Q_2^2, Q_2 > 36; \\
120Q_2-1.5Q_2^2-1800, Q_2 \le 36.
\end{cases}$$
Теперь нужно сравнить Pr, полученную из (1) с Pr, полученную из (2), на всех участках $Q_2$ - от 0 до 36, от 36 до 40 и от 40 и выше.
Сделав это мы получим:
$$Pr_1=\begin{cases}
1800-30Q_2+0.125Q_2^2, Q_2 \le 90-30 \sqrt{3}; \\
1350-15Q_2+\frac{1}{24}Q_2^2, Q_2 > 90-30 \sqrt{3}.
\end{cases}$$
Таким образом кривая реакции 1-й фирмы на выпуск второй будет:
$$Q_1=\begin{cases}
30-0.25Q_2, Q_2 \le 90-30\sqrt{3} \\
30- \frac {1}{6}Q_2, Q_2 \ge 90-30\sqrt{3}.
\end{cases}$$
а это тоже самое, что и:
$$Q_2=\begin{cases}
120-4Q_1, Q_1 \ge 7.5+7.5 \sqrt{3}; \\
180-6Q_1, Q_1 \le 15+5\sqrt{3}.
\end{cases}$$
Аналогичным образом мы можем получить кривую реакции второй фирмы на выпуск первой:
$$Q_2=\begin{cases}
40-0.5Q_1, Q_1 \le 60-20\sqrt{2}; \\
50-0.5Q_1, 60-20\sqrt{2} \le Q_1 \le 100; \\
0, Q_1 > 100.
\end{cases}$$
Теперь просто пересекаем эти две кривые реакций друг с другом, проверяя ограничения на участки. Получится, что в равновесии $Q_1=\frac{160}{7}$ и $Q_2=\frac{200}{7}$, тогда цена будет $P=120-\frac{160}{7}-\frac{200}{7}=\frac{480}{7}$