На далеком острове в океане есть две деревни: большая деревня A и маленькая (но гордая) деревня B.  Жители деревни А собирают 20 кокосов в год, деревни В - 10 кокосов в год. Кокосы можно есть, а можно строить из них Большой Кокосовый Храм (БКХ). В конце каждого года наступает сезон дождей, во время которого храм уносит в океан, поэтому каждый год жители острова строят храм заново.

Счастье каждого жителя зависит только от количества съеденных им кокосов ($x$) и от красоты храма ($G$). Суммарное счастье деревни А можно посчитать по формуле $u_a(x_a,G)=x_a+ 6\sqrt{G}$, деревни В - по формуле $u_b(x_b,G)=x_b+2\sqrt{G}$. Храм у всех общий, еда у каждого своя.

1. Всеобщее счастье

Строительство храма осуществляется централизованно. Каждый год Мудрый Вождь острова собирает с каждой деревни по $t$ кокосов, из которых затем строится храм.

Жители обеих деревень очень неприхотливы в искусстве: чем больше храм, тем он красивее, то есть красота храма равна числу кокосов, из которых он построен. Форма храма жителям также не важна, поэтому для его строительства не нужны дополнительные ресурсы и даже рабочее время: люди бросают кокосы в условненном месте, а затем все они любуются построенным "храмом".

Мудрый Вождь заботится о своих подопечных: он выбирает $t$, максимизируя суммарное счастье всех жителей острова.

Сколько кокосов будет собрано на храм? Насколько счастливы будут жители деревень А и В и весь остров в целом?

2. Счастье у каждого свое

Как Вы могли заметить, жители деревни В менее религиозны, чем жители деревни А, поэтому многие из них считают, что несут слишком большие расходы на храм, и хотят, чтобы деревня В отделилась. Если это случится, остров будет разделен на две части, в каждой из которых будет свой храм, а между частями острова - высокий забор (так что жители ни одной деревни не смогут любоваться чужим храмом).

Вождь по-прежнему будет заботиться о жителях острова, но теперь уже по отдельности: он будет выбирать $t_a$, максимизируя общее счастье жителей деревни А, а $t_b$ - максимизируя общее счастье жителей деревни B.

Найдите $t_a$, $t_b$, а также счастье каждой из деревень и острова в целом в случае отделения деревни В

3. Демократия - лучшая форма правления

Остров находится далеко в океане, но даже там хорошо известно, что такое демократия. Поэтому прежде чем принять трудное решение из предыдущего пункта, вождь должен убедить жителей острова в том, что оно верное. И единственный демократический способ это сделать - провести референдум. Вождь выступает перед гражданами острова с речью о том, что каждая деревня имеет право на самоопределение, и в соответствии с принципом демократии нужно провести референдум в деревне В. Если больше половины жителей деревни проголосуют за отделение, то деревня В будет отделена.
Каковы будут результаты референдума?

4. Демократия - худшая форма правления

Жители деревни А недовольны результами референдума и считают, что деревня В не может отделиться просто так - для этого нужно согласие большинства граждан острова, а не только жителей деревни В. Вождь решает провести новый референдум, теперь на всем острове.
Каковы результаты нового референдума?

5. Деньги решают все...

Беспорядки в деревне В становятся все больше, ходят слухи, что некоторые ее жители хотят разрушить храм. Вождь не может этого допустить и предпринимает новую попытку примирить жителей. Раз деревню В так просто не отпускают, вождь предлагает ее жителям заплатить несколько кокосов за отделение. В новом референдуме жителям острова задается такой вопрос:

Согласны ли Вы, чтобы деревня В отделилась, если ее жители заплатят Х кокосов деревне А?

Пусть $X=8$. Каковы будут итоги референдума?

6. ... или почти все

Накануне референдума вождь в последний раз обходит остров, намечая, где будет проходить забор, который навсегда разделит его.

Но не спокойно на душе у вождя, он понимает, что с жителями В снова будут проблемы.
Почему вождь так считает?

7. Супер-демократия

Результат предыдущего пункта повергает вождя в такую печаль, что он разочаровывается в демократии и хочет построить новую, идеальную форму правления - Супер-Демократию. Решения в Супер-Демократии принимаются только на Супер-Референдумах, которые отличаются от обычных только тем, что для принятия решения нужно согласие 100% жителей острова.
Объясните, почему в Супер-Демократии не будет таких проблем, какая была в предыдущем пункте?

8. Супер-провал

Вождь мудр, но не силен в математике.
Помогите ему разобраться, есть ли такие значения Х, при которых в результате Супер-Референдума будет принято решение отделить деревню В. Если такие значения есть, приведите пример. Если их нет, докажите.

9. Или супер-успех?

Всю ночь вождь не сомкнул глаз - волновался о судьбе своих подопечных - и решил, что референдум с $X=8$ проводить нельзя: уже на следующую ночь жители В могут взбунтоваться и разорить храм. Просто так успокоить жителей В не удастся, а риск для храма очень велик. В таких условиях вождь решается на отчаянный шаг: предложить жителям А заплатить деревне В сумму $Y$ за то, чтобы они отказались от идеи отделяться.

Можете ли Вы снова помочь Мудрому Вождю: найти значение $Y$, которое успокоит весь остров сразу, или доказать, что таких значений нет?
Если Вы нашли хотя бы одно подходящее значение Y, придумайте вопрос, который нужно задать жителям острова на Супер-Референдуме.

10. Мораль: все не так уж случайно

Как Вы думаете, почему результаты пунктов 8 и 9 отличаются?
Подсказка: сравните общее счастье объединенного и разделенного острова.

Комментарии

Могу ошибаться, но в 1 пункте у меня кол-во кокосов - 16, а суммарная полезность на острове - 46. Затрудняюсь ответить полезность на каждом острове в отдельности, так как не могу понять, как будут распределены кокосы между деревнями.
Верно! В первом пункте деревни платят одинаковое число кокосов: по $t$ каждая. Это поможет посчитать полезность каждой деревни отдельно.
А, ну тогда они платят по 8 кокосов и подставить это в ф-ии полезности не составляет труда,сейчас попробую решить второй.
В деревне А на храм потратят 9 кокосов, а в деревне Б 1 кокос.
Верно
В 3 пункте , жители деревни принимают свое решение, сравнивая на полезности без и с отделением?
Да
Тогда они отделятся, да?
В 4 пункте будет принято решение не отделять деревни, так как за это будут голосовать жители деревни А , которых больше, чем жителей деревни Б.
Пока все правильно
5 пункт. Жители деревни А за отделение, жители деревни Б - против. В итоге отделение произойдет.
6 пункт. они не захотят отдавать кокосы или что-то в этом духе.
Ок. В пункте 6 можно отвечать подробнее: почему это они не захотят отдавать 8 кокосов? А пол-кокоса захотят? Подробнее об этом в следующих пунктах.
7 пункт. Потому, что если решение одобрили все, то с ним и согласны все, значит ни у кого нет повода его отменять (в этом случае можно было просто не голосовать за это решение).
Верно
Пункт 8.
8. таких Х нет, В согласны отдать не больше 1 кокоса, а А согласятся на сделку если получат не меньше 7 кокосов.
9. а могут отдать до 7 кокосов В ( разница между их "счастьем" во время объединения и когда деревни разделены)
8. Верно
9. Да, А готовы отдать до 7 кокосов. На сколько кокосов согласятся В?