Решая задачу о монополисте-паникёре, ученик 11 класса Степан Буквальный захотел найти собственные функции спроса на все блага, которые он потребляет – благо их всего два.
– Вот моя функция полезности $U(x_1,x_2)$, вот мой доход $I$, а вот цены $p_1$ и $p_2$. Начнём с первого блага...
И вот что у него получилось:
– Вот моя функция полезности $U(x_1,x_2)$, вот мой доход $I$, а вот цены $p_1$ и $p_2$. Начнём с первого блага...
И вот что у него получилось:
$$x_1(p_1,p_2,I)=\frac{p_2\cdot I^a+c}{p_1\cdot p_2 +p_1^b}$$
Надо сказать, Степан имеет вредную привычку обозначать, сам того не замечая, числа буквами. Даже там, где это совершенно бесполезно. Вот и сейчас, взглянув на результат своей работы, он ужаснулся: откуда взялись эти a, b, c? Надо бы вспомнить, чему они равны, но черновики уже разбросаны по всей комнате, а там такой бардак, что быстрее решить заново, чем отыскать их. Только вот нет гарантии, в процессе нового решения не появятся новые ненужные буквы:)
К счастью, Степан смекалист. "Это ведь спрос, а не что попало!" – воскликнул он, и, прикинув что-то в уме, восстановил все три числа.
Попробуйте и вы сделать это!
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Эврика! - это же до безобразия красиво, если то что я сейчас напишу, окажется верным.)
Тут всё дело в размерности величин. В числителе и в знаменателе должны быть одни и те же размерности, но в знаменателе размерность уже задана - это $p_1\cdot p_2$ т.е. $рубль^2$, значит
$c=0$ как безразмерная величина, $b=2$, $a=1$
Не совсем понял, что подразумевается под "размерности и арифметические действия должны быть согласованы"?
Не совсем понял, что подразумевается под "размерности и арифметические действия должны быть согласованы"?
Тимур пишет: "c=0 как безразмерная величина". Рассмотрим формулу Q=a-bP. Q измеряется в штуках, P – в рублях, делённых на штуки (вспомним TR=P*Q). Тогда a измеряется в штуках, а b – в штуках в квадрате, делённых на рубли, так ведь? Выходит, b не безразмерная величина, так чем тогда c хуже?
Если придерживаться такого подхода, то каждый раз, строго говоря, пришлось бы писать все эти страшные размерности у параметров, когда мы пишем "с = тому-то". Это неудобно, и я предлагаю придерживаться другого подхода. А именно, формулу Q=a-bP воспринимать так: все переменные, которые в неё подставляются, безразмерные, но где-нибудь отдельно написано: Q – число штук товара, P – число рублей за штуку. Дали тебе цену в копейках за штуку – изволь разделить её на 100, прежде чем подставлять в формулу. Ошибок вроде возникнуть не должно.
Подход Тимура, видимо, позволяет в нашей задаче найти параметры a и b, но не c.
Ну тогда по поводу $С$, можно сказать так:
пусть $I=0$, тогда спрос должен равняться нулю так как он отражает желание и возможность купить товар по данной цене, так как цены у нас могут быть любыми, тогда $С$ должно равняться нулю.
Способ решения, который я предполагаю в этой задаче, позволяет найти параметры и в ситуации с начальными запасами.
Допустим, была бы такая формулировка.
Найти параметры $m$ и $n$, если $x(P_x,P_y,I)=a-b\frac{P^m_x}{P_y}+c\frac{I^n}{P_y}$.
Если здесь начать исповедовать размерностную философию, то получится, что:
если $m=1$, то $b$ должно измеряться в (шт. икса)^2/(шт. игрека);
если $m=2$, то $b$ должно измеряться в (шт. икса)^3/(руб.*шт. игрека)...
В общем, чему бы я ни положил равным $m$, и я всегда смогу подстроить под это размерность константы, и вытащить через размерности информацию об $m$ у меня не получится.
А в нашем первоначальном случае - где гарантия, что перед всей дробью не стоит какая-нибудь единица, имеющая свою размерность?
Скрытая единица, которая на самом деле не единица, а килограмм делить на метр в пятой, это уж вообще перебор. Хотя, это похоже на распространённую в школьных кругах фразу $\pi=180^{\circ}$ (жалкий аналог фразы $\pi \ рад=180^{\circ}$).
Нет, давай уж придерживаться того, что a=a.
А вообще коэффициенты - это хорошая идея. Тимур, предлагаю тебе найти m и n для функции $ x(P_x,P_y,I)=a-b\frac{P^m_x}{P_y}+c\frac{I^n}{P_y} $.
Пример, предпочтения потребителя заданы простейшей функцией $U = \sqrt{x} + y$. Даны цены товаров $(p_x, p_y)$ и доход $I$.
Легко показать, что функция спроса на первый товар имеет вид: $x = min(\frac{(p_y)^2}{4(p_x)^2},\frac{I}{p_x})$
Внимание вопрос - что в какой размерности и почему?
следовательно, если мы хотим получить формулу x = бюджет/две цены от которых зависит x.
то$ a=1. c=0. b=log_{p1}^{p2}$