У Дяди Фёдора удивительная корова: вместо молока она даёт бесконечно делимые коровьи рога.
Производственный процесс устроен следующим образом:
1. Дядя Фёдор говорит своей корове, какое количество рогов Q он хочет получить от неё сегодня;
2. корова отвечает, какой объём травы ей нужно употребить, чтобы она могла дать столько рогов;
3. осуществляется обмен травы на рога.
Дядя Фёдор знает, как зависит ответ коровы от запрашиваемого количества рогов; если он просит у коровы Q рогов, то ему придётся купить травы на TC(Q) рублей.
Дядя Фёдор — монополист на рынке коровьих рогов. На рисунке изображён спрос на рога, а также график функции $AC(Q)=TC(Q)/Q$.
В каждом из следующих случаев определите графически, сколько рогов будет просить у коровы и продавать на рынке Дядя Фёдор, чтобы максимизировать прибыль.
а)
korova_a.gif
б)
korova_b.gif

Комментарии

В а), очевидно, в точке касания спроса и средних издержек.
в б) при $E_{Q}^{AC}=-1$, построить такую точку можно следующим образом: проводить кривые вида $\frac{A}{Q}$, в точке касания $AC$ и такой кривой и будет единичная эластичность.
Петя написал так кратко, что никто ничего не понял, но теперь спрашивать боятся:)
А можешь как-нибудь найти эту точку без компьютера?
б)
Если $TC$ имеет убывающие участки ( а оно их имеет т.к $TR$ при $E^Q_P = -1$ больше, чем $TC$ в точке касания, а значит $TC$ при $Q (E=1)$ больше $TC$ в точке касания). Тогда это означает, что $MC$ пересекает ось $Q$ два раза (потому, что потом $TC$ опять возрастают). Тогда очевидно, что выгодно продавать не более чем количество соответствущее максимальной выручке, а покупать количество, то при котором $TC$ минимальны. Они минимальны, когда $MC$ пересекает ось $Q$ второй раз (т.к. вначале было доказано, что $TC$ уменьшились, а уменьшиться они могли только, когда $MC$ < 0. Значит нам выгодно будет производить до тех пор, пока $MC$ опять не станет положительными). Значит в точке оптимума $MC$ = 0. Следовательно наклон $|AC'| = |\frac{MC(Q_1) - AC (Q_1)}{Q_1}| = \frac{AC(Q_1)}{Q_1}$. И поэтому в точке, где $MC = 0$ должно, как Петя писал выше, выполняться касание кривой $\frac{A}{Q}$ и $AC$. Можно ли пользоваться тем, что $Q^d_{max}$ равен минимуму $AC$ и что угол наклона спроса $-1$? Или это случайность?
1) "Тогда это означает, что MC пересекает ось Q два раза" - ты хотел сказать "как минимум два раза"? Хотя здесь действительно будет ровно два раза, но из того, что ты написал, это не следует.
2) "Тогда очевидно, что выгодно продавать не более чем количество соответствущее максимальной выручке, а покупать количество, то при котором TC минимальны." - Не очевидно: TC ведь сначала возрастают, прежде чем начать убывать; и может, прибыль будет ещё больше в какой-то точке на участке возрастающих TC (представь, что изменение TC на всём убывающем участке очень маленькое, а перед этим они сильно возрастали).
3) То, что $Q^d_{max}$ равен минимуму AC - это случайность, но можешь пользоваться, если это тебе как-то пригодится.
То, что наклон спроса равен -1, мы не можем утверждать, потому что масштаб по осям не подписан. Хотя ты всегда можешь перейти к другим единицам измерения, чтобы наклон был равен -1; так что и здесь можешь предполагать, что наклон равен -1, если это чем-то поможет.
В смысле без компьютера? Только с помощью прямых?
Кстати, идею решения этой задачи я придумал по аналогии с одной задачей по молекулярной физике: площадь под графиком на P-V диаграмме пропорциональна температуре, а линии, соответствующие одинаковой температуре,(изотермы) как раз гиперболы.
Ну а как ты собирался найти точку, где гипербола касается AC? Я могу представить себе, как это сделать, только с помощью компьютера.
Нужно указать конкретную точку на этом рисунке, а не просто описать её свойства.
Можно, например, найти эту точку так: прямая, проходящая через проекции данной точки на оси координат, будет параллельна касательной.
Но это тоже неудобное построение.
Это уже осуществимо! Но не очень удобно, да. Есть более удобный способ.
Фабула отиличная. Корова, потребляющая траву, ставит дает бесконечно делимые рога дяде Федору.
.
В минимуме (максимуме) $TC$ должно выполняться $AC'=-\frac{AC}{Q}$, то есть касательная и секущая в данной точке должны иметь противоположные углы наклона к осям Q и P. Тогда они должны образовывать равнобедренные треугольники, где основание - ось Q или P. Вот иллюстрация.

Но строить касательные все равно довольно трудно. Можно поступить так:
1) Построить в "подозреваемую" точку на кривой AC секущую из начала координат;
2) Опустить проекцию на одну из осей;
3) Построить вторую точку, симметричную началу координат относительно этой проекции;
4) Провести прямую через получившуюся точку и "подозреваемую" точку
5) Если получившаяся прямая очень похожа на касательную, то все круто, а если нет, то повторить со следующей "подозреваемой точкой"

Например, здесь видно, что точка А3 очень похожа на искомую
korova_b.jpg