По разные стороны границы

Где-то в океане лежит замечательный остров Аруба. Однажды, после смерти мудрого короля, два его сына затеяли борьбу за престол, в результате чего на острове образовались два государства - Северный Аруба и Южный Аруба, и каждое обзавелось собственной валютой - Тугрикс (от Тугрик Северный) и Ют (Южный Тугрик) соответственно.
1) Так случилось, что все лесные ресурсы оказались сосредоточены в Северной части острова, поэтому компания "Чистозуб", единственный в Южном Аруба производитель зубочисток, вынуждена закупать сырье за границей по фиксированной цене - 4 Тугрикса за единицу. Спрос на зубочистки в Южном Аруба имеет вид Q=120-P, а производственная функция компании - $Q=2\sqrt{D}$, где D - количество единиц сырья.
В Северной же части острова функционирует компания "Иголочка", являющаяся монополистом на рынке иголок. Так как в Северном Аруба отсутствуют даже намеки на сталелитейное производство, сырье "Иголочка" закупает в Южной части острова по фиксированной цене 2 Юта за единицу. Производственная функция компании имеет вид $Q=\sqrt{M}$, где М - количество единиц сырья, а обратная функция спроса на иголки в Северном Аруба может быть представлена в виде P=60-2Q.
Обе компании продают продукцию только на внутреннем рынке, и, естественно, за местную валюту. Известно, что в сопоставимых единицах "Чистозуб" получает вдвое большую прибыль, чем "Иголочка".
Определите, каков обменный курс валют двух государств.
Может показаться странным, что в производственных функциях компаний отсутствует труд, однако этому есть объяснение - в обеих частях острова Аруба легализовано рабовладение, а все затраты на содержание рабов берет на себя государство в рамках программы по поддержке малого бизнеса. Как же два монополиста попали под эту программу? Все очень просто - коррупция:)

2) Шло время, и остров Аруба менялся. Экономический рост, борьба за гражданские свободы и все дела. Рабовладение отменили в обеих частях острова, "Чистозуб" и "Иголочка" получили статус ОАО и ЗАО соответственно, неизменным осталось только одно - компаниям по-прежнему приходилось закупать необходимые им ресурсы за границей.
Теперь ОАО "Чистозуб" закупает сырье по 5 Тугриксов за единицу, а ЗАО "Иголочка" по 4 Юта за штуку. Производственные функции компаний имеют вид $Q=\sqrt[3]{L_1D}$ и $Q=0,75\sqrt[3]{L_2М}$ соответственно. В обоих государствах рынки труда совершенно конкурентные, при этом "Чистозуб" вынужден платить 10 Ютов за единицу рабочей силы, а "Иголочка" - 5 Тугриксов. Функция спроса жителей Южного Аруба на зубочистки имеет вид Q=400-2P, а в Северном Аруба спрос на иголки - Q=200-2P, компании сохранили монопольное положение на своих рынках. Кроме того, после сравнения финансовых отчетов двух компаний выяснилось, что совокупные издержки ОАО "Чистозуб" в сопоставимых единицах в 6,25 раз больше, чем издержки ЗАО "Иголочка".
а) Докажите, что при любом валютном курсе выпуск обеих компаний будет положительным.
б) Определите, какое из предприятий более рентабельно.
Когда будете искать новый валютный курс, вполне может получиться "некрасивое" на первый взгляд уравнение. Попробуйте подобрать корень, он простой и единственный. Если получилось, вероятно Вы на правильном пути:)