Импортный оброк

На внутреннем рынке чая спрос и предложение задаются следующими функциями:
$Q_{d} = a - bP~~~~~;~~~~~ Q_{s} = c + dP$ , $c > 0$ .
Равновесная цена данного рынка $P_{domestic}$ .
Цена чая на мировом рынке $P_{foreign}$ . Известно, что $P_{foriegn} < P_{domestic}$ . Если внутренний рынок чая открыт для импорта, то какую следует государству установить импортную пошлину в расчёте на единицу товара, если оно преследует цель максимизации налоговых поступлений?
В решении учитывайте что введение пошлины не повлияет на мировую цену на чай.

Решение и ответ

1 решение (алгебраическое).
Выразим $P_{domestic}$ через $a;b;c;d$ приравняв функции спроса и предложения.
$a - bP = c + dP \Rightarrow P_{domestic} = \frac{a-c}{b+d}$ .
Весь внутренний дефицит при цене, большей чем $P_{foreign}$ будет покрываться иностранными производителями, импортирующими товар в страну. Найдём объём импорта товаров при $P > P_{foreign}$ : $Q_{Im} = Q_{d} - Q_{s} = a - bP - c - dP$ . Первоначальный объём импорта равняется $Q^{1}_{Im} = Q_{d} - Q_{s} = a - c - (b+d)\cdot P_{foreign}$ .
При введении налога в размере $t$ единиц цена импорта вырастет на $t$ единиц при каждом объёме импорта, т.е. $P^{'}_{foreign} = P_{foreign} + t$ . Объём дефицита при цене, равной $P^{'}_{foreign}$ $Q_{деф} = Q^{2}_{Im} = a - c - (b+d)(P_{foreign}+t)$ . Величина налоговых поступлений $T = t \cdot Q_{Im} = at - ct - t(b+d)(P_{foreign}+t)$ . Цель государства - максимизировать налоговые поступления.
$T = t \cdot Q_{Im} = at - ct - t(b+d)(P_{foreign}+t) \rightarrow max\limits_{t}$ .
$T' = a - c - (b+d)(P_{foreign}+2t) = 0 \Rightarrow t = (\frac{a-c}{b+d} - P_{foreign})/2$ . Заметим, что $\frac{a-c}{b+d} = P_{domestic}$ , откуда $t = \frac{P_{domestic} - P_{foreign}}{2}$ .

2 решение (экономное).
Вспомнив тот факт, что максимальная площадь вписанного в треугольник прямоугольника, одна сторона которого совпадает с основанием, достигается в случае, если противоположная сторона прямоугольника является средней линией данного треугольника, получаем высоту $h = P_{domestic} - P_{foreign}$ . Следовательно налог, равный половине высоты, равняется $t = \frac{P_{domestic} - P_{foreign}}{2}$ .

Ответ:

$t = \frac{P_{domestic} - P_{foreign}}{2}$

Примечание:

Товарищи экономисты могут доказать факт про максимальную площадь вписанного в треугольник прямоугольника разделив его на два равных прямоугольных треугольника высотой из вершины и рассмотрев каждый из этих прямоугольных треугольников как график спроса, максимум выручки которого достигается в точке единичной эластичности.

да, комментарии Акимова так и всполывают в памяти)
получается $t$ , максимизирующая налоговые поступления будет равна половине расстояния между $P_d_o_m_e_s_t_i_c$ и $P_f_o_r_e_i_g_n$
Это будет достаточным ответом?
Вообще кто знает - графическое решение с объяснением засчитывается как полное и правильное?

Сурен Аванян, 08.4.2010 в 20:45. (ссылка)

Ребята такие задачи полезны для тренировки. Не нужно вспоминать комментарий Акимова.)
Как насчёт такого вопроса: такая же ситуация только государство вводит субсидию отечественным производителям
так , чтобы импорт товара стал невыгодным. Каков размер субсидии?)

↑

Усова Лиза, 08.4.2010 в 20:46. (ссылка)

Думаю величина субсидии - разница между мировой и внутренней ценой.

↑

Сурен Аванян, 08.4.2010 в 20:47. (ссылка)

спешишь

↑

Усова Лиза, 08.4.2010 в 20:49. (ссылка)

и точно. Спешу.
Нужно чтобы внутренняя цена благодаря субсидии опустилась ниже мировой.

↑

Сурен Аванян, 08.4.2010 в 20:51. (ссылка)

ну или равнялась ей)

↑

Усова Лиза, 08.4.2010 в 20:54. (ссылка)

что - все так просто?
без всяких заморочек?)
Может это только с линейным спросом-предложением так?

↑

Сурен Аванян, 08.4.2010 в 20:56. (ссылка)

Ты ответ сначала скажи)) Если ты решишь то поймёшь, что схема решения для любых функций схожа.

↑

Дан Лифшиц, 08.4.2010 в 21:22. (ссылка)

$Subsidiary =\frac{a - c - (b+d)\cdot P_{foreign}}{d}$ .

↑

Сурен Аванян, 08.4.2010 в 21:24. (ссылка)

Дан, внеси туда $Pdomestic$ . Хотя и так сойдёт)

↑

Дан Лифшиц, 08.4.2010 в 21:26. (ссылка)

Убедил =)

$Subsidiary = \frac{(b+d)(P_{domestic}-P_{foreign})}{d}$

↑

Дан Лифшиц, 08.4.2010 в 21:07. (ссылка)

По этапам:
1. Найти Q в точке пересечения $P_{foreign}$ и спроса.
2. Найти такую величину дотации, чтобы $Q^{дотированное}_{s}(P_{foreign}) = Q_{d}(P_{foreign})$ . Проделав это, получите ответ.

↑

Сурен Аванян, 08.4.2010 в 21:16. (ссылка)

а не против если бы там внутренняя цена участвовала

Иван Жабин, 08.4.2010 в 20:52. (ссылка)

то есть внутреннее равновесие должно достигнуться в цене равной мировой
по-моему тут должна быть субсидия в размере первоначального импорта...

↑

Сурен Аванян, 08.4.2010 в 20:58. (ссылка)

про импорт вообще забудь) То что я написал это второй вопрос в задаче)
Да.

Иван Жабин, 08.4.2010 в 21:05. (ссылка)

ну если забыть про импорт) то возможно sub=2(Pd-Pw)

↑

Сурен Аванян, 08.4.2010 в 21:07. (ссылка)

нет

↑

Иван Жабин, 08.4.2010 в 21:19. (ссылка)

что-то у меня аналитически не получается вывести субсидию...
вышло что она равна Pw-Pd/b(b+d)
но с этим я уже ничего придумать не могу

↑

Сурен Аванян, 08.4.2010 в 21:20. (ссылка)

прекрасно. Именно это и нужно.

Дан Лифшиц, 08.4.2010 в 21:28. (ссылка)

Бонус!

Условие то же, кроме:
Пусть $P_{s} = c + dQ$ .
Найти $t$ .

↑

Иван Жабин, 08.4.2010 в 21:30. (ссылка)

то же что и у тебя или то же что и у Сурена?)

↑

Дан Лифшиц, 08.4.2010 в 21:46. (ссылка)

Подумай, порисуй, вникни в суть.
Ни то, ни то.

↑

Сурен Аванян, 08.4.2010 в 21:57. (ссылка)

Он про условие.)

↑

Сурен Аванян, 09.4.2010 в 08:23. (ссылка)

Дан, а что ты принципиально изменил?

↑

Дан Лифшиц, 09.4.2010 в 10:06. (ссылка)

А как тебе случай, когда $c > P_{foreign}$ ? =)

Усова Лиза, 08.4.2010 в 21:19. (ссылка)

Сурен, у меня есть асчусчение, что размер субсидии будет связан с коэфициентом с в предложении, так как нам нужно сдвинуть предложение параллельно вправо-вниз.
Я права?

↑

Сурен Аванян, 08.4.2010 в 21:20. (ссылка)

ну зависмость некая будет

Антон Ветров, 09.4.2010 в 08:13. (ссылка)

Сурен, ответ на твой вопрос t>= $\frac{(p_domestic-p_foreign)(b+d)}{d}$ ?

↑

Дан Лифшиц, 09.4.2010 в 10:06. (ссылка)

Да =)

Никитин Иван, 09.4.2010 в 18:43. (ссылка)

при

$t=\frac{Pdomestic-Pforiegh}{2}$

цена импортируемого товара будет больше, чем цена на внутреннем рынке, тогда импорт бессмысленен

↑

Сурен Аванян, 09.4.2010 в 18:51. (ссылка)

каким образом?))

Никитин Иван, 09.4.2010 в 20:54. (ссылка)

я имею в виду, мировая цена+пошлина будет больше, чем цена на внутреннем рынке или я ошибаюсь?

↑

Дан Лифшиц, 09.4.2010 в 21:01. (ссылка)

Каким образом? =)
$P_{foreign} + t = P_{foreign} + \frac{P_{domestic} - P_{foreign}}{2} = \frac{P_{domestic} + P_{foreign}}2$ . Но по условию $P_{domestic} > P_{foreign}$ , тогда $\frac{P_{domestic} + P_{foreign}}2 < \frac{P_{domestic} + P_{domestic}}2 = P_{domestic}$ .