1000 спросов

На рынке присутствуют 1000 покупателей, для удобства дальнейших рассуждений пронумерованных индексами $i=1,\/2,\/3,\/\dots,\/1000$ . Функция спроса i-го покупателя имеет вид: $q_i=1001-i-P$ . Причем цены могут принимать только целые значения. Производит и продает товар фирма-монополист, функция общих издержек которой имеет вид $TC=100,5Q$ . Сколько единиц товара и по какой цене продаст монополист, не имеющий возможности осуществлять ценовую дискриминацию? Какую прибыль он получит?

Решение и ответ

Очевидно, график функции спроса каждого отдельного покупателя будет представлять тобой отрезок прямой. Поскольку индивидуальные графики спроса начинаются при различных максимальных значениях цены, то суммарная (рыночная) функция спроса будет иметь график, представляющий собой ломаную линию. Представим точки перелома этой линии в виде таблицы, формулирующей зависимость между ценой и объемом товара, приобретенного всеми покупателями:

P	1000	999	998	997	…	P
Q	0	1	1+2	1+2+3		1+2+3+…+1000-P

Используя формулу суммы членов арифметической прогрессии, можно записать:
$Q(P)=1+2+3+\dots+(1000-P)=\\= {{1 + (1000 - P)} \over 2} \cdot (1000 - P)=0,5(1001-P)(1000-P)$

Разумеется, это уже не график ломаной линии. Это парабола, которая при целых значениях Р и Q проходит через точки ломаной линии спроса. Однако, именно при целых значениях данная зависимость нас и интересует. Графически полученный результат можно представить следующим образом:

Запишем выражение для прибыли монополиста при определенном значении Р:
$\pi =TR-TC=P\cdot Q(P)-100,5\cdot Q(P)=\\=(P-100,5) \cdot 0,5(P-1001)(P-1000)$

График этой функции – кубическая парабола, проходящая через точки 100,5; 1000; 1001.

Спрос определен при $Q \le 1000$ . На участке (100,5;1000) эта функция имеет максимум. Найдем P такое, что $\pi(P)=\pi(P-1)$ . Если это P целое, то P и P-1 – точки с максимальной прибылью среди всех целых P. Если это P не целое, то максимальную прибыль обеспечит целое число, лежащее между (P-1) и P.

$\begin{align*} \pi(P)=\pi(P-1) \\ (P-100,5)*0,5(P-1001)(P-1000)=(P-101,5)*0,5(P-1002)(P-1001)\\(P-100,5)(P-1000)=(P-101,5)(P-1002)\\P^2 - 1100,5P + 100500 = P^2 - 1103,5P + 101703\\3P = 1203\\P = 401 \end{align*}$

Значит, P=401 и P=400 являются решениями задачи.

Ответ:

монополисту безразлично какой из следующих двух вариантов выбрать:
продать 180 300 единиц товара по цене 400;
продать 179 700 единиц товара по цене 401;
Прибыль при выборе любого из этих вариантов составит 53 999 850.

Супер задачка!
Пол часа пытался функцию Q(P) записать, и, таки, получилось)
Только я последнюю часть решения не совсем понимаю: почему нельзя через производную найти P?

↑

Григорий Хацевич, 15.3.2010 в 02:22. (ссылка)

Можно, почему нет?

↑

Дан Лифшиц, 15.3.2010 в 08:30. (ссылка)

Ну просто решают как - то более мудро)

Константин Павлович Ерохин, 08.4.2011 в 15:14. (ссылка)

Объясните, пожалуйста, почему мы находим такое P, при котором п(Р)=п(Р-1)? И куда в самом начале решения делась i (то есть где таблица количество покупателей не учитывается?)