Тяп-Ляп

Фирма «Тяп-Ляп» действует в конкурентной отрасли, цена продукции равна $8$ д. е. Известно, что производство q единиц продукции сопряжено для фирмы с издержками в размере $q^2$ д. е. К сожалению, доля $\alpha$ конечной продукции оказывается бракованной, а потому подлежит обязательной утилизации. Уничтожение единицы продукции обходится фирме в $2$ д. е. У фирмы есть возможность снизить процент брака (величину $\alpha$): чтобы доля продукции с дефектом уменьшилась на $1$ пункт, необходимо инвестировать $0,25$ д. е.

Забор вокруг школы

Городские власти выделили 1,2 млн руб. на строительство забора вокруг территории школы. Территория вокруг школы имеет прямоугольную форму площадью 0,9 га, которую с севера и юга необходимо оградить деревянным забором, а с востока и запада – металлическим. Установка одного метра деревянного забора обходится в 5 тыс. рублей, металлического – в 2 тыс. рублей. Найдите все возможные значения каждой стороны ограждаемой территории, при которых выделенной на строительство суммы будет достаточно.

Не такой уж малый

На рынке велосипедной атрибутики работают 256 фирм, которые действуют как совершенные конкуренты. Производственная функция каждой фирмы имеет вид $Q=\dfrac{\sqrt{L}}{2}$, а на рынке конечной продукции цену можно считать равной единице. Количество безработных на рынке зависит от заработной платы как $U=\dfrac{-16+8w^3}{w^2}$ (количество людей, которые хотели бы быть нанятыми по рыночной зароботной плате, но не наняты). Кривая предложения труда характеризуется единичной эластичностью по заработной плате.

Рыночное предложение

На некотором рынке совершенной конкуренции действуют два типа фирм.

  1. Фирмы типа А в количестве 100 штук, каждая с функцией общих издержек $TC(A)=q^2+3q+300$
  2. Фирмы типа Б в количестве 50 штук, каждая с функцией общих издержек $TC(Б)=0{,}5q^2+4q+270$.

Выведите функцию рыночного предложения данной отрасли для краткосрочного периода.

Товар Икс

На рынке товара $X$ действует монополия, издержки которой описываются функцией $TC=5Q$, где $Q$ – объём выпуска товара $X$. Обратная функция спроса на товар $X$ имеет вид $P=8-2Q$, где $P$ – цена за единицу товара $X$. В целях максимизации благосостояния общества государство решило ввести налог (или субсидию) в размере $t$ у.е. за единицу товара $X$.

Предложение фирмы

Издержки фирмы, действующей на рынке совершенной конкуренции, заданы соотношением: $TC=\begin{cases}Q^2+5Q+4, & Q>0 \\ 0, & Q=0\end{cases}$ . Выведите функцию долгосрочного предложения фирмы.

Лицензионная

Выпуск фирмы (Q) следующим образом зависит от количества используемого капитала (K) и труда (L): $Q=10K^{0,5}L^{0,5}$. Цена единицы капитала равна 2 д.е., цена единицы труда равна 2 д.е. В краткосрочном периоде запас капитала фиксирован и равен 4 единицам. Кроме оплаты капитала и труда фирма должна платить за лицензию, лицензионный платёж равен 50 д.е. и не зависит от объёма выпуска фирмы (но если фирма ничего не выпускает, то и лицензию оплачивать не нужно). Фирма стремится получить наибольшую прибыль.

Все задачи этой олимпиады

10 класс
ЗадачаБаллы
"Сигма" и лицензия10
Безработица10
Монополия10
Товар Х10
11 класс
ЗадачаБаллы
Безработица10
Лицензионная10
Монополия 210
Товар Х10
7-9 классы
ЗадачаБаллы
"Сигма" и лицензия10
Монополия10
Спрос и предложение10
Товар Х10

"Сигма" и лицензия

Фирма «Сигма» производит некоторый товар и продает его на рынке совершенной конкуренции. Общие издержки производства товара имеют вид : $TC=\dfrac{q^2}{200}+8$, где $TC$ - общие издержки фирмы (д.е.), $q$ – объём выпуска фирмы (тонны). Кроме того, фирма должна платить за лицензию, лицензионный платеж равен 50 д.е. и не зависит от объёма выпуска фирмы (но если фирма ничего не выпускает, то и лицензию оплачивать не нужно). Фирма стремится получить наибольшую прибыль. Определите минимальную цену единицы продукции фирмы, при которой её оптимальный выпуск будет положительным.

Все задачи этой олимпиады

10 класс
ЗадачаБаллы
"Сигма" и лицензия10
Безработица10
Монополия10
Товар Х10
11 класс
ЗадачаБаллы
Безработица10
Лицензионная10
Монополия 210
Товар Х10
7-9 классы
ЗадачаБаллы
"Сигма" и лицензия10
Монополия10
Спрос и предложение10
Товар Х10

Монополия

Фирма-монополист имеет функцию предельных издержек ܶ$MC=q^2-8q+19$. Её предельный доход задан уравнением $MR=10-2q$, где $q$ – количество единиц товара (в тоннах), $P$ – цена одной тонны товара (в рублях). Определите объём выпуска монополиста, при котором его прибыль будет максимальной.

Все задачи этой олимпиады

10 класс
ЗадачаБаллы
"Сигма" и лицензия10
Безработица10
Монополия10
Товар Х10
11 класс
ЗадачаБаллы
Безработица10
Лицензионная10
Монополия 210
Товар Х10
7-9 классы
ЗадачаБаллы
"Сигма" и лицензия10
Монополия10
Спрос и предложение10
Товар Х10

Винтики и Шпунтики

Фирма Винтик&Co продает винтики по цене $x$ за штуку и является монополистом на этом рынке. Спрос на винтики задается функций $Q=360-P$. Главной деталью для изготовления каждого винтика являются шпунтик, и кроме как стоимость шпунтика других переменных издержек не требуется. Винтик&Со закупает шпунтики у фирмы Шпунтик&Co по цене $y$ за шпунтик. Предельные издержки изготовления одного шпунтика постоянны и равны 40, фиксированных издержек нет. Найдите $x$ и $y$, если известно, что больше никакие другие фирмы не производят ни шпунтики, ни винтики.