В Республике Нэш работает единственный коммерческий банк «Даймонд», который обслуживает \( N = 120 \) инвесторов. Изначально каждый инвестор вносит на депозит 1 миллион песо. Итоговый капитал банка составляет 120 миллионов.

Банк инвестирует все собранные средства в долгосрочный макроэкономический мегапроект. У этого проекта есть технологическая особенность (неликвидность):

  • Если дождаться завершения проекта во Втором периоде (Завтра), каждый вложенный миллион принесет \( R = 2 \) миллиона песо.
  • Если банк будет вынужден экстренно ликвидировать часть активов в Первом периоде (Сегодня), то продажа оборудования на вторичном рынке принесет лишь \( L = 0.5 \) миллиона за каждый изначально вложенный миллион.

По условиям депозитного договора, любой инвестор имеет право потребовать свои деньги обратно Сегодня (в Первом периоде). Банк обещает выплатить ровно 1 миллион песо каждому, кто придет Сегодня. Все деньги, которые останутся от проекта Завтра (после выплат сегодняшним паникерам), банк поровну разделит между теми терпеливыми инвесторами, которые не стали забирать вклады.

1) Пусть Сегодня свои вклады забирают \( w \) инвесторов.
а) Выведите функцию выплаты терпеливому инвестору \( C_2(w) \) — сумму, которую он получит Завтра, в зависимости от количества паникеров \( w \).
б) Найдите критический порог паникеров \( w^* \), при котором терпеливому инвестору становится выгоднее бежать в банк Сегодня, чем ждать до Завтра.
в) Опишите два симметричных равновесия по Нэшу в этой игре. Рассчитайте ожидаемый выигрыш каждого агента в обоих случаях. (Примечание: если у банка заканчиваются деньги Сегодня, он распределяет остатки среди прибежавших случайным образом).

2) В экономике начинается кризис доверия, и агенты склоняются к плохому равновесию. Чтобы спасти макроэкономику, глава Центрального банка Бен открывает «дисконтное окно». Теперь, если банку «Даймонд» нужны наличные Сегодня, он не продает оборудование за бесценок, а берет у ЦБ кредит под нулевой реальный процент. Завтра банк возвращает долг ЦБ из выручки от мегапроекта, а остаток делит между терпеливыми вкладчиками.
а) Выведите новую функцию выплаты терпеливому инвестору \( C_2^{new}(w) \).
б) Докажите математически, что вмешательство ЦБ полностью и навсегда уничтожает «плохое равновесие», даже если все инвесторы пессимисты и ждут паники от остальных.