Репутация и HHI

Задача

Голосов еще нет

Максим Горшенин

03.09.2026, 18:20 (Максим Горшенин)
19.09.2026, 20:58

(0)

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

На рынке информации работает $n$ фирм, $i$-ая из которых обладает репутацией $\alpha_i > 0$. Если фирма обладает репутацией $\alpha_i$, то в этом сезоне информацию она может продавать по цене не более $\alpha_i$, а издержки на добычу $I$ единиц информации равны $I^2$. Фирма может соврать, не понеся издержек на добычу информации, при этом, чтобы не вызывать подозрений, она должна продать столько же, сколько бы она продала, если бы не лгала. Но в таком случае репутация фирмы уменьшается в $k > 1$ раз к следующему сезону. Репутация не совравших фирм увеличивается в одинаковое количество раз. При этом сумма всех $\alpha_i$ всегда равна $1$, если хоть одна фирма не соврала, иначе сумма уменьшается в $k$ раз.
$а)$ Пусть $n = 2$, фирмы работают $2$ сезона и максимизируют суммы прибылей за эти два сезона. Найдите все равновесия Нэша в зависимости от $k$ и начальных репутаций $\alpha_1, \alpha_2$.
Будем рассчитывать индекс Херфиндаля-Хиршмана для этого рынка по формуле:
\[HHI = \frac{\alpha_{1t}^2 + \alpha_{2t}^2 + \dots + \alpha_{nt}^2}{(\alpha_{1t} + \alpha_{2t} + \dots + \alpha_{nt})^2}\]
- сумма квадратов долей репутаций фирм в сезоне $t$ от суммарной репутации. Чем больше значение $HHI$, тем более концентрирован рынок.
$б)$ Пусть всё также $2$ фирмы работают $2$ сезона. При каких начальных $\alpha_1 \neq \alpha_2$ существует такое $k$, которое с наибольшей вероятностью приведёт к наименьшей теоретически возможной концентрации рынка во втором сезоне? (Считайте все достижимые для случая равновесия равновероятными).
$в)$ Пусть есть большая фирма с начальной репутацией $\alpha_1$ и $n - 1$ малых с равными репутациями (репутация маленьких $\alpha_s \le \alpha_1$, $n \ge 2$), которые работают $2$ сезона. Теперь доверие к большой фирме не может быть резко подорвано, поэтому уменьшение её репутации при лжи $k_1$ в $1/\alpha_1$ раз меньше, чем $k_2$ при лжи у малых. При каких $\alpha_1$ теперь в хотя бы одном из равновесий может быть достигнута минимальная концентрация на рынке во втором сезоне?

Решение и ответ

а) Прибыль $i$-ой фирмы составит $\alpha_i I - I^2 \Rightarrow I^* = \frac{\alpha_i}{2}$, значит фирма с репутацией $\alpha_i$ всегда будет продавать такое количество информации.
Рассмотрим второй сезон. Если фирмы солгут, то фактически не понесут наказания (так как это последний сезон), зато понесут меньшие издержки. Значит, во втором сезоне обеим фирмам выгодно лгать.
Рассмотрим первый сезон. Пусть обе фирмы говорят правду. Тогда прибыль $i$-ой составит $\frac{\alpha_i^2}{4}$ в первом сезоне и $\alpha_i \cdot \frac{\alpha_i}{2}$ во втором, то есть суммарно $\frac{3\alpha_i^2}{4}$.
Пусть обе фирмы соврут. Тогда в первом сезоне прибыль каждой будет $\frac{\alpha_i^2}{2}$, а ко второму сезону репутация каждой падает до $\frac{\alpha_i}{k}$, значит во втором сезоне прибыль каждой составит $\frac{(\alpha_i/k)^2}{2} = \frac{\alpha_i^2}{2k^2}$, суммарно за два сезона прибыль будет $\frac{\alpha_i^2(k^2 + 1)}{2k^2}$.
Теперь рассмотрим случай, где, не умаляя общности, первая фирма лжёт, а вторая говорит правду. В таком случае суммарная прибыль первой фирмы будет такой же как в случае $(\text{Л}, \text{Л})$, а вот вторая фирма получит в первом сезоне честные $\frac{\alpha_2^2}{4}$, а ко второму сезону её репутация вырастет до $1 - \frac{\alpha_1}{k} = 1 - \frac{1 - \alpha_2}{k}$, т.к. сумма репутаций должна быть равна единице. Тогда прибыль второй фирмы во втором сезоне будет $\frac{(k - (1 - \alpha_2))^2}{2k^2}$, что в сумме с первым сезоном будет давать $\frac{\alpha_2^2}{4} + \frac{(k - (1 - \alpha_2))^2}{2k^2}$.
Теперь найдём равновесие. Чтобы $(\text{П}, \text{П})$ являлось равновесием, прибыль фирмы 1 и 2 в случае их лжи и правдивости другого должна быть меньше, чем в случае $(\text{П}, \text{П})$, то есть
\[
\frac{3\alpha_i^2}{4} > \frac{\alpha_i^2(k^2 + 1)}{2k^2} \;\Longrightarrow\; 6k^2 > 4k^2 + 4 \;\Longrightarrow\; k > \sqrt{2}.
\]

Рассмотрим разницу в прибыли сказавшей правду фирмы в случае $(\text{П}, \text{Л})$ и случае, в котором она будет лгать $(\text{Л}, \text{Л})$:
\[
\Pi(\text{П}, \text{Л}) - \Pi(\text{Л}, \text{Л})
= \frac{(k - (1 - \alpha_i))^2}{2k^2} - \frac{\alpha_i^2}{4} - \frac{\alpha_i^2}{2k^2}
= \frac{(k - 1)^2 + \alpha_i(2k - 2) - \frac{k^2}{2}\alpha_i^2}{2k^2}.
\]
График зависимости от $\alpha_i$ - парабола ветвями вниз. Ноль достигается при
\[
\alpha_i = \frac{(k - 1)(-2 \pm \sqrt{2k^2 + 4})}{-k^2},
\]
$k > 1$ и $\sqrt{2k^2 + 4} > 2$, значит имеем отрицательный корень при знаке плюс перед $\sqrt{2k^2 + 4}$ и положительный:
\[
X(k) = \frac{(k - 1)(2 + \sqrt{2k^2 + 4})}{k^2}.
\]
Если $\alpha_i > X(k)$, то $\Pi(\text{Л}, \text{Л}) > \Pi(\text{П}, \text{Л})$, иначе $\Pi(\text{П}, \text{Л}) > \Pi(\text{Л}, \text{Л})$.

График зависимости $X(k)$

Как видно из графика, после $k = 4$ функция $X(k)$ строго убывает и стремится к $X(k) = \sqrt{2} > 1$. При $k = \sqrt{2}$ имеем $X(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2} - 1)(2 + \sqrt{8})}{2} = 1$, и при всех $k > \sqrt{2}$ выполняется $X(k) > 1$.
Значит, при $k \geqslant \sqrt{2}$ сказать правду при лжи другой фирмы предпочтительнее, так как $\alpha_i < 1 \leqslant X(k)$. А так как при $k > \sqrt{2}$ при правдивости конкурента выгодно говорить правду, единственным равновесием при $k > \sqrt{2}$ будет $(\text{П}, \text{П})$.
В случае $k = \sqrt{2}$ фирмы безразличны между правдой и ложью при правдивости другого, значит равновесиями будут $(\text{П}, \text{П})$, $(\text{Л}, \text{П})$, $(\text{П}, \text{Л})$.
Рассмотрим случай $k < \sqrt{2}$. Теперь $(\text{П}, \text{П})$ уже ни в каком случае не может быть равновесием, а $X(k) < 1$ и возрастает на участке от $1$ до $\sqrt{2}$, то есть существуют такие $\alpha_i$, при которых $(\text{Л}, \text{Л})$ может быть предпочтительнее $(\text{П}, \text{Л})$ для одной фирмы, но чтобы оно было предпочтительнее сразу для обеих, должно выполняться $\alpha_1 > X(k)$ и $\alpha_2 > X(k)$, что невозможно при $X(k) > 0.5$. Равенство $X(k) = 0.5$ достигается при $k = \frac{8}{7}$.

Рассмотрим участок $\frac{8}{7} < k < \sqrt{2}$. Если $\alpha_1, \alpha_2 \leqslant X(k)$, то хотя бы для одной фирмы правда при лжи другой строго предпочтительнее $(\text{Л}, \text{Л})$, а для другой --- не менее предпочтительнее. Тогда возникает два равновесия $(\text{П}, \text{Л})$ и $(\text{Л}, \text{П})$. Если же для фирмы $j$ выполнено $\alpha_j > X(k)$, то для неё солгать выгоднее, чем сказать правду при лжи другой. $(\text{Л}, \text{Л})$ при этом тоже не является равновесием, т.к. другой фирме $I$ выгоднее говорить правду при лжи $j$. Получаем единственное равновесие $(\text{Л}, \text{П})$, где лжёт фирма с большей репутацией.

Теперь рассмотрим финальный участок $1 < k \leqslant \frac{8}{7}$. В случае $k = \frac{8}{7}$ и $\alpha_1 = \alpha_2 = X(k) = 0.5$ обе фирмы безразличны между правдой и ложью при лжи конкурента, получаем 3 равновесия: $(\text{П}, \text{Л})$, $(\text{Л}, \text{П})$, $(\text{Л}, \text{Л})$, а при $\alpha_i > X(k)$ и $\alpha_j < X(k)$, аналогично прошлому участку, единственным равновесием будет $(\text{Л}, \text{П})$, где лжёт фирма с большей репутацией.

При $k < \frac{8}{7}$ в случае $\alpha_1, \alpha_2 \geqslant X(k)$ единственным равновесием Нэша является $(\text{Л}, \text{Л})$, никто не хочет отклониться и сказать правду. Если же $\alpha_j > X(k)$, а $\alpha_i = X(k)$, то фирма $j$ предпочитает ложь правде при лжи $I$, а $I$ безразлична между правдой и ложью при лжи $j$. Получаем два равновесия: $(\text{Л}, \text{Л})$ и $(\text{Л}, \text{П})$, во втором из которых правдива фирма с меньшей репутацией. Если $\alpha_j > X(k)$ и $\alpha_i < X(k)$, то $(\text{Л}, \text{Л})$ уже не является равновесием, так как $I$ хотела бы отклониться и сказать правду. Получаем единственное равновесие $(\text{Л}, \text{П})$, где лжёт $j$.

Таблица зависимости равновесий от $k$ и $\alpha_1$, $\alpha_2$. При этом должно выполняться $\alpha_1 + \alpha_2 = 1$.
б) Сразу докажем для $n$ фирм, что $HHI_{\min} = \frac{1}{n}$. По неравенству КБШ для наборов $(\alpha_{1t}, \alpha_{2t}, \dots, \alpha_{nt})$ и $(1, 1, \dots, 1)$ ($n$ единиц) выполнено
\[
(\alpha_{1t}^2 + \dots + \alpha_{nt}^2)(1 + \dots + 1) \geqslant (\alpha_{1t} + \dots + \alpha_{nt})^2,
\]
то есть
\[
\frac{\alpha_{1t}^2 + \dots + \alpha_{nt}^2}{(\alpha_{1t} + \dots + \alpha_{nt})^2} \geqslant \frac{1}{n}.
\]
Равенство достигается при $\alpha_{1t} = \alpha_{2t} = \dots = \alpha_{nt}$.

Значит в случае с 2 фирмами нужно, чтобы во втором сезоне их репутации сравнялись. При этом, раз изначальные репутации не равны, то нам не подойдут равновесия $(\text{Л}, \text{Л})$ и $(\text{П}, \text{П})$, так как они не изменят отношение репутаций. Значит нужно, чтобы в первом сезоне сложилось равновесие $(\text{Л}, \text{П})$, в котором лжёт фирма с большей репутацией, а во втором репутации обеих фирм стали $0.5$.

Чтобы это произошло с наибольшей вероятностью, равновесие $(\text{Л}, \text{П})$ в первом сезоне должно быть единственным. Из пункта а) такое возможно только при $1 < k < \sqrt{2}$ и $\alpha_i > X(k)$, $\alpha_j < X(k) \Rightarrow 1 - \alpha_i < X(k) \Rightarrow \alpha_i > \max(X(k), 1 - X(k))$, где $i$ -- фирма с большей репутацией. При этом нужно, чтобы во втором сезоне репутация стала $\frac{\alpha_i}{k} = 0.5 \Rightarrow \alpha_i = \frac{k}{2}$, следовательно, требуется
\[
\frac{k}{2} > \frac{(k - 1)(2 + \sqrt{2k^2 + 4})}{k^2}.
\]

На графике фиолетовым изображена зависимость $X(k)$, жёлтым - $1 - X(k)$, зелёным - $\frac{k}{2} = \alpha_i$, а также отмечены границы $k = 1$, $k = \sqrt{2}$. Как видно, данные условия выполняются при $k$ от $1.121$ до $1.177$, следовательно, $HHI = \frac{1}{2}$ с наибольшей вероятностью будет достигнут при $0.561 < \alpha_i < 0.589$ и $k = 2\alpha_i$, где $\alpha_i$ - репутация фирмы с большей репутацией.
в) Теперь нам нужно добиться того, что в первом сезоне крупная фирма солжёт, а малые скажут правду. Суммарная прибыль крупной в таком случае будет $\frac{\alpha_1^2}{2} + \frac{1}{2n^2}$, так как мы приводим репутации всех фирм во втором сезоне к $\frac{1}{n}$. Чтобы она не хотела строго отклониться, её прибыль при правдивости в первом сезоне должна быть не больше. Так как в первом сезоне при правдивости большой все будут правдивы, то её прибыль будет $$\frac{\alpha_1^2}{2} + \frac{\alpha_1^2}{4} \leqslant \frac{\alpha_1^2}{2} + \frac{1}{2n^2} \Rightarrow \alpha_1^2 \leqslant \frac{2}{n^2} \Rightarrow \alpha_1 \leqslant \frac{\sqrt{2}}{n}$$.

Репутация маленьких фирм в первом сезоне - $\frac{1 - \alpha_1}{n - 1}$, во втором сезоне нужно чтобы стала $\frac{1}{n}$. В таком случае суммарная прибыль маленьких фирм - $\frac{(1 - \alpha_1)^2}{4(n-1)^2} + \frac{1}{2n^2}$. Если одна из них решит отклониться и соврать, то во втором сезоне её репутация станет $\frac{1 - \alpha_1}{k_2 (n - 1)}$. Так как $k_1 = n\alpha_1$, то $k_2 = n$. Тогда её суммарная прибыль будет
\[
\frac{(1 - \alpha_1)^2}{2(n-1)^2} + \frac{(1 - \alpha_1)^2}{2n^2(n - 1)^2}.
\]
Чтобы фирма не хотела отклониться, нужно чтобы было выполнено
\[
\frac{(1 - \alpha_1)^2}{2(n-1)^2} + \frac{(1 - \alpha_1)^2}{2n^2(n - 1)^2}
\leqslant
\frac{(1 - \alpha_1)^2}{4(n-1)^2} + \frac{1}{2n^2}.
\]
Отсюда $n^2(1 - \alpha_1)^2 + 2(1 - \alpha_1)^2 \leqslant 2(n - 1)^2$, то есть $(1 - \alpha_1)\sqrt{n^2 + 2} \leqslant \sqrt{2}(n - 1)$, значит $\alpha_1 \geqslant 1 - \frac{\sqrt{2}(n - 1)}{\sqrt{n^2 + 2}}$.

Репутация большой фирмы $\alpha_1$ при этом должна быть хотя бы $\frac{1}{n}$, иначе она не будет самой большой. Значит нам подойдут $\alpha_1$ такие, что
\[
\max\left( \frac{1}{n},\; 1 - \frac{\sqrt{2}(n - 1)}{\sqrt{n^2 + 2}} \right)
\leqslant \alpha_1 \leqslant \frac{\sqrt{2}}{n}.
\]
Равенство $$\frac{1}{n} = 1 - \frac{\sqrt{2}(n - 1)}{\sqrt{n^2 + 2}}$$ Достигается при $$\frac{n - 1}{n} = \frac{\sqrt{2}(n - 1)}{\sqrt{n^2 + 2}} \Rightarrow 2n^2 = n^2 + 2 \Rightarrow n = \pm \sqrt{2}$$ Если рассмотреть любое значение $n > \sqrt{2}$, то будет видно, что $\frac{1}{n} > 1 - \frac{\sqrt{2}(n - 1)}{\sqrt{n^2 + 2}}$, следовательно, при любых $n \geqslant 2$ будет выполнено $\frac{1}{n} > 1 - \frac{\sqrt{2}(n - 1)}{\sqrt{n^2 + 2}}$, значит подойдут такие $\alpha_1$, что $\frac{1}{n} \leqslant \alpha_1 \leqslant \frac{\sqrt{2}}{n}$. При таких $\alpha_1$ может быть достигнут $HHI = \frac{1}{n}$.

Темы

Сложность

Автор