На некотором рынке функция предложения строго возрастает, а функция спроса строго убывает. Первоначально на рынке устанавливаются равновесные цена $P^*$ и объём продаж $Q^*$. Государство хочет сократить объём потребления товара на $20\%$ и рассматривает два способа добиться этой цели:

1. ввести потоварный налог в размере $t$ ден. ед. с каждой проданной единицы товара;

2. ввести процентный налог по ставке $\tau$ от цены, получаемой производителем.

Считайте, что все рассматриваемые цены и объёмы положительны.

а) Сравните при двух вариантах налогообложения цены, уплачиваемые потребителями, цены, получаемые производителями, и налоговые сборы государства.

б) Сравните в двух случаях излишек потребителей, излишек производителей и общественное благосостояние.

в) Теперь рассмотрим третий способ налогообложения: государство взимает налог по ставке $\sigma$ от цены, уплачиваемой потребителем. Ставка $\sigma$ выбирается так, чтобы равновесный объём продаж также был на $20\%$ меньше первоначального. Сравните $\sigma$ и $\tau$.

г) Известно, что после введения налога цена для потребителей выросла на $10\%$ относительно $P^*$, а цена, получаемая производителями, снизилась на $10\%$ относительно $P^*$. Найдите $\tau$ и $\sigma$.

д) Предположим теперь, что государство не ставит перед собой цель сократить продажи ровно на $20\%$. Оно вводит потоварный налог в одном случае и процентный налог по ставке $\tau$ от цены производителя в другом. Известно лишь, что после введения налогов цены, уплачиваемые потребителями, оказались одинаковыми. Докажите, что в двух случаях совпали также равновесные объёмы продаж, цены производителей и налоговые сборы.

е) Верно ли обратное утверждение: если при потоварном и процентном налогах государство получает одинаковые налоговые сборы, то равновесные объёмы продаж обязательно совпадают? Если утверждение неверно, приведите контпример.