Отдача и средний продукт

\[
\frac{q(tx)}{tx} > \frac{q(x)}{x}, \quad \forall t > 1.
\]

Умножаем на \(tx\):

\[
q(tx) > t \cdot q(x).
\]

Это и есть определение положительной отдачи от масштаба.

б)

Если средние продукты $AP_{x_1}=q(x_1,x_2)/x_1$ растет по $x_1$, то верно неравенство:

\[
\frac{q(t x_1, x_2)}{t x_1} > \frac{q(x_1, x_2)}{x_1}, \quad \forall t>1.
\]

\[
q(t x_1, x_2) > t \cdot q(x_1, x_2). \quad (1)
\]

Из неубавания производственной функции следует:

\[
q(tx_1, tx_2) \geqslant q(tx_1, x_2). \quad (2)
\]

Откуда из неравенств (1) и (2) получаем:

\[
q(tx_1, tx_2) \geqslant q(tx_1, x_2) > tq(x_1,x_2).
\]

или

\[
q(tx_1, tx_2) > tq(x_1,x_2).
\]

что свидетельствует о возрастающей отдаче от масштаба.

в) Рассмотрим $n$ факторную модель, в которой средний продукт, в том числе, по первому фактору растет:

\[
\frac{q(tx_1, x_2, \dots, x_n)}{t x_1} > \frac{q(x_1,x_2, \dots, x_n)}{x_1}.
\]

или

\[
q(tx_1, x_2, \dots, x_n) > tq(x_1,x_2, \dots, x_n)
\]

Учитывая неубывание производственной функции:

\[
q(tx_1, tx_2, \dots, tx_n) \geqslant q(tx_1, x_2, \dots, x_n) > tq(x_1,x_2, \dots, x_n)
\]

Откуда получаем неравенство \[q(tx_1, tx_2, \dots, tx_n) > tq(x_1,x_2, \dots, x_n)\], свидетельствующее о возрастании отдачи от масштаба.

г) Докажем более сильное неравенство:

Запишем условие возрастания среднего продукта по каждому фактору:

\[
\frac{q(x_1, \dots, tx_i, \dots, x_n)}{tx_i} > \frac{q(x_1, \dots, x_n)}{x_i}
\]

что эквивалентно:

\[
q(x_1, \dots, tx_i, \dots, x_n) > t \cdot q(x_1, \dots, x_n)
\]

Будем последовательно увеличивать величину используемого фактора в $t>1$, начиная с 1 и заканчивая $n$-ым фактором.

Шаг 1: Увеличиваем \(x_1\) в \(t\) раз:

\[
q(tx_1, x_2, \dots, x_n) > t \cdot q(x_1, x_2, \dots, x_n)
\]

Шаг 2: Увеличиваем \(x_2\) в \(t\) раз (уже при увеличенном \(x_1\)):
\[
q(tx_1, tx_2, x_3, \dots, x_n) > t \cdot q(tx_1, x_2, x_3, \dots, x_n)
\]
Но \(q(tx_1, x_2, x_3, \dots, x_n) > t \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)\) из шага 1, поэтому:
\[
q(tx_1, tx_2, x_3, \dots, x_n) > t \cdot (t \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)) = t^2 \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)
\]

Шаг 3: Увеличиваем \(x_3\) в \(t\) раз:
\[
q(tx_1, tx_2, tx_3, x_4, \dots, x_n) > t \cdot q(tx_1, tx_2, x_3, \dots, x_n)
\]
Но \(q(tx_1, tx_2, x_3, \dots, x_n) > t^2 \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)\) из шага 2, поэтому:
\[
q(tx_1, tx_2, tx_3, x_4, \dots, x_n) > t \cdot (t^2 \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)) = t^3 \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)
\]

Продолжая процесс, на шаге \(k\):

\[
q(tx_1, \dots, tx_k, x_{k+1}, \dots, x_n) > t^k \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)
\]

На шаге \(n\) (последний фактор) имеем неравенство:

\[
q(tx_1, tx_2, \dots, tx_n) > t^n \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)
\]

Что и требовалось доказать.