Трехмерное потребление

$$U(x_1,x_2,x_3)=10x_1-x_1^2+10x_2-x^2_2+10x_3-x_3^2=75-(x_1-5)^2-(x_2-5)^2-(x_3-5)^2, $$

откуда для определенного уровня полезности $U_0$ получаем уранение кривой безразличия:

$$75-U_0=(x_1-5)^2+(x_2-5)^2+(x_3-5)^2.$$

Данное уравнение задает в координатах $(x_1;x_2;x_3)$ множество концентрических сфер (см. график).

б) Бюджетное ограничение имеет вид: $x_1+x_2+x_3\leqslant I$. Заметим, что максимум суммарной полезности достигается в точке $(x_1;x_2;x_3)=(5;5;5)$, поэтому если этот набор доступен потребителю, то он выберет его (Случай 1). Иначе оптимум достигается при выполнении условия касания границы бюджетного ограничения (плоскости $x_1+x_2+x_3=I$) и кривой безразличия (Случай 2).

Случай 1. Если $5+5+5\leqslant I \Rightarrow I\geqslant 15$, оптимум достигается в точке $U^*(x_1^*;x_2^*;x_3^*)=U(5;5;5)=75$.

Случай 2. $I<15$. Если плоскость $x_1+x_2+x_3=I$ касается сферы, то расстояние $\rho$ от центра сферы (точки (5;5;5)) до плоскости равно радиусу сферы, то есть величине $\sqrt{75-U}$. Составим соответствующее уравнение:

$$ \rho=\frac{1\cdot5+1\cdot5+1\cdot5-I}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\sqrt{75-U} \Rightarrow U^*=75-\frac{1}{3}\big(15-I\big)^2$$