Сложение линейного и нелинейного Лоренца.

Вспомним, что если у нас есть кривая Лоренца f(x), общая численность населения: N, и их суммарный доход I, то доход человека x, можно рассчитать как: $$\frac{df(x)}{dx}\cdot \frac{I}{N}$$
Рассчитаем доход человека x в первой стране:
$$2x \cdot \frac{100}{10}=20x$$
а теперь доход во второй стране:
$$\begin{cases}
9 \{ 0 \leq x \leq 0.5\}\\
51 \{ 0.5 < x \leq 1\}
\end{cases}$$
Заметим, что при крайне малых x, доход в первой стране какого-то человечишки, будет меньше, чем во второй. Поэтому изначально мы будем набирать людей из 1 страны, до тех пор, пока доход не станет равным самому бедному из 2 страны: а именно:
$$20x=9$$
до точки: $$x_1=\frac{9}{20}$$
мы будем набирать людей из 1 страны.
$$x_1 \leq \frac{9}{20}$$
$$x_2=0$$
Запишем доход в 1объединенной стране:
$$Y^*=\frac{y_1(x_1) \cdot I_1+y_2(x_2) \cdot I_2}{I_1+I_2}$$
$$Y^*=\frac{x_1^2 \cdot 100+0.3 \cdot 0 \cdot 210}{310}$$
$$Y^*=\frac{x_1^2 \cdot 100}{310}$$
Теперь запишем население в объединенной стране:
$$X^*=\frac{x_1 \cdot N_1+x_2 \cdot N_2}{N_1+N_2}$$
$$X^*=\frac{10 \cdot x_1}{17}$$
$$x_1=\frac{17X^*}{10}$$
$$Y^*=\frac{289X^2}{310}$$
Если $$\{ \frac{9}{34} > X\geq 0\}$$
$$\frac{9}{34}$$ Взялось из-за этого ограничения: $$x_1 \leq \frac{9}{20}$$
Теперь мы набрали уже $\frac{9}{20}$ $x_1$ и теперь мы будем набирать всю первую группу из второй страны: пока они не закончатся:
$$x_1=\frac{9}{20}$$
$$x_2 \neq 0$$
$$Y^*=\frac{\frac{81}{4}+63x_2}{310}$$
$$X^*=\frac{\frac{9}{2}+x_2 \cdot 7}{17}$$
$$Y^*=\frac{\frac{81}{4}+63(\frac{17X^*-\frac{9}{2}}{7})}{310}$$
Если:
$$\{ \overline{x} > x\geq \frac{9}{34}\}$$
Найдем верхнее ограничение на x, а именно: $\overline{x}$
Мы уже набрали $\frac{9}{20}$ Из первой страны и еще набрали 0.5 из второй страны. Таким образом в общей стране их доля будет равной:
$$\overline{x}=\frac{\frac{9}{20} \cdot 10+0.5 \cdot 7}{17}=\frac{8}{17}$$
теперь мы набрали $$\frac{9}{20}$$ из первой страны, всю первую группу из второй страны, остается понять, кто беднее, остальные люди из 1 страны или вторая группа из второй страны, вспомним, что доход каждого человека из 2 страны
2 группы составляет 51 ден. ед, а доход человека x, в 1 стране задается как: $20x$ $x \in [0:1]$ Поэтому самый богатый из 2 страны беднее самого бедного из 2 группы 2 страны, значит мы будем донабирать людей по максимуму из 1 страны:
$$x_2=0.5 \cdot 7$$
$$x_1=\frac{9}{20}+x_1$$
$$Y^*=\frac{(\frac{9}{20}+x_1)^2 \cdot 100+ 0.5 \cdot 0.3 \cdot 210}{310}$$
$$X^*=\frac{(\frac{9}{20}) \cdot 10+0.5 \cdot 7}{17}$$
$$Y^*=\frac{(\frac{9}{20}+\frac{17x-8}{17})^2 \cdot 100+31.5}{310}$$
$$\{ \overline{x} > X \geq \frac{8}{17}\}$$
найдем $\overline{x}$ мы набрали всех десятерых из первой страна и еще 3.5 из второй:
$$\overline{x}=\frac{13.5}{17}$$
$$\{\frac{13.5}{17} > X \geq \frac{8}{17}\}$$
Ура! осталось немного, вывести последний кусок, а именно мы теперь набираем всю остальную вторую группу из 2 страны, понятно как это сделать:
просто уже запишу итоговый ответ:
$$Y^*(X^*)=\begin{cases}
\frac{289X^2}{310} \{ \frac{9}{34} > X\geq 0\}\\
\frac{\frac{81}{4}+63(\frac{17X^*-\frac{9}{2}}{7})}{310} \{ \frac{8}{17} > x \geq \frac{9}{34}\}\\
\frac{(\frac{9}{20}+\frac{17x-8}{17})^2 \cdot 100+31.5}{310} \{\frac{13.5}{17} > X \geq \frac{8}{17}\}\\
\frac{100+(1.7 \cdot (\frac{17X-13.5}{7})+31,5}{310} \{1\geq X \geq \frac{13.5}{17} \}
\end{cases}$$