Экспонат

1. Пойти на выставку, взяв обувь напрокат.
2. Пойти на выставку без обуви, взятой напрокат.
3. Не ходить на выставку (в этом случае брать обувь напрокат нет смысла).

Рассмотрим вариант 1. В этом случае $x_3=x_4=1$, то есть Алиса будет максимизировать функцию $U_1=x_1 x_2+20$ (осталось выбрать только потребление конфет и печенья). Поскольку Алиса берет обувь напрокат за $p_4=700$, а выставка бесплатна, она может потратить на конфеты и печенье 1300. Составим бюджетное ограничение: $250x_1+110x_2\le 1300$. Понятно, что в силу возрастания функции полезности Алиса будет тратить все деньги, так что $x_2=130/11-(25/11)x_1$. Подставляя это в функцию полезности, получаем $U_1=x_1\left(130/11-(25/11)x_1\right)+20$. Это парабола с ветвями вниз, находим вершину: $x_1^*=13/5$. Подставляя это в функцию, находим максимальное значение: $U_1^*=389/11$.

Рассмотрим вариант 2. В этом случае $x_3=1$, $x_4=0$, то есть Алиса будет максимизировать функцию $U_2=x_1 x_2+36$. Поскольку Алиса покупает билет на выставку за $p_3$, она может потратить на конфеты и печенье $(2000-p_3)$. Составим бюджетное ограничение: $250x_1+110x_2= 2000-p_3$, откуда $x_2=(2000-p_3)/110-(25/11)x_1$. Подставляя это в функцию полезности, получаем $U_2=x_1\left((2000-p_3)/110-(25/11)x_1\right)+36$. Это парабола с ветвями вниз, находим вершину: $x_1^*=(2000-p_3)/500$. Подставляя это в функцию, находим максимальное значение: \[U_2^*=\frac{(2000-p_3)^2}{110000}+36.\]

Рассмотрим вариант 3. В этом случае $x_3=x_4=0$, то есть Алиса будет максимизировать функцию $U_3=x_1 x_2$. Других трат нет, так что она может потратить на конфеты и печенье сумму 2000. Составим бюджетное ограничение: $250x_1+110x_2= 2000$, откуда $x_2=200/11-(25/11)x_1$. Подставляя это в функцию полезности, получаем $U_3=x_1\left(200/11-(25/11)x_1\right)$. Это парабола с ветвями вниз, находим вершину: $x_1^*=4$. Подставляя это в функцию, находим максимальное значение: $U_3^*=400/11$.

Нетрудно заметить, что лучше не ходить на выставку вообще, чем ходить в обуви на длинных шпильках ($400/11>389/11$, так что вариант 1 никогда не является наилучшим для Алисы). Чтобы сравнить варианты 2 и 3, составим неравенство: \[\frac{(2000-p_3)^2}{110000}+36 \ge \frac{400}{11}\]

Решая это неравенство с учетом неотрицательности цены, получаем $p_3\le 1800$, то есть при ценах, больших 1800, Алиса предпочтет вариант 3, а при ценах, меньших 1800, — вариант 2 (при $p_3=1800$ она безразлична между вариантами). Составим функции спроса:

\begin{align*}
&x_1^*=\begin{cases}
(2000-p_3)/500, &\text{ если } p_3\le 1800, \\
4, &\text{ если } p_3> 1800, \\
\end{cases} &&
x_2^*=\begin{cases}
(2000-p_3)/220, &\text{ если } p_3\le 1800, \\
100/11, &\text{ если } p_3> 1800, \\
\end{cases} \\
&x_3^*=\begin{cases}
1, &\text{ если } p_3\le 1800, \\
0, &\text{ если } p_3> 1800, \\
\end{cases}
&& x_4^*=0
\end{align*}