Экономико-геометрический этюд: рентабельность монополиста

Геометрическое решение:

Значение выручки в некой точке $q$ равно площади под графиком предельной выручки на отрезке $[0;q]$. Поэтому
$\frac{{TR(Q^* )}}{{TR_{\max } }} = \frac{{S_{ODEA} }}{{S_{ODB} }} = 1 - \frac{{S_{AEB} }}{{S_{ODB} }}.$
Треугольники $AEB$ и $ODB$ подобны, поэтому $\frac{{S_{AEB} }}{{S_{ODB} }} = \frac{{AE^2 }}{{OD^2 }} $. Значит,
$\frac{{TR(Q*)}}{{TR_{\max } }} = 1 - \frac{{AE^2 }}{{OD^2 }} = \frac{8}{9} \Rightarrow \frac{{OC}}{{OD}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{OC}}{{CD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow S_{DCE} = S_{OCEA}\\ \Rightarrow \pi = TC.$

Проверим себя аналитически:
$\begin{array}{l} P = a - bQ;{\rm{ }}MR = a - 2bQ = MC = c = const = AC \\ Q^* = \frac{{a - c}}{{2b}},{\rm{ }}P^* = \frac{{a + c}}{2}. \\ \end{array} $
$TR = P(Q) \cdot Q = (a - bQ) \cdot Q \to \max \Rightarrow Q = \frac{a}{{2b}},{\rm{ }}TR_{\max } = \frac{{a^2 }}{{4b}}.$
По условию, $TR(Q^* ) = \frac{8}{9}TR_{\max }$
$\frac{{a^2 - c^2 }}{{4b}} = \frac{8}{9} \cdot \frac{{a^2 }}{{4b}} \Rightarrow a = 3c.$
$\frac{{\pi (Q^* )}}{{TC(Q^* )}} = \frac{{TR(Q^* )}}{{TC(Q^* )}} - 1 = \frac{{(a^2 - c^2 )/4b}}{{c \cdot (a - c)/2b}} - 1 = \frac{{(3c)^2 - c^2 }}{{2c(3c - c)}} - 1 = 2 - 1 = 1.$