Новая технология и общественное благосостояние

Если старая функция издержек отдельной фирмы описывалась уравнением $\TC=f(Q)$, то новая функция издержек будет описываться уравнением $\TC=0{,}8f(Q)$. При этом старая функция предельных издержек имела вид $\MC=f'(Q)$, а новая - будет иметь вид $\MC=0{,8f'(Q)$. Таким образом, из снижения общих издержек на $20\%$ при каждом $Q$ следует снижение предельных издержек на $20\%$ при каждом $Q$. Впрочем, это можно было понять и из экономического смысла предельных издержек, без использования производной.

Предложение обладает единичной эластичностью $\Rightarrow P_s=cQ$.

Как известно, цена предложения фирмы совпадает с ее предельными издержками, и поэтому их снижение на 20% при каждом объеме выпуска эквивалентно снижению цены предложения при каждом объеме выпуска на 20%. Значит, новая кривая предложения описывается уравнением $P_s=0,{8}cQ$.

В точке первоначального равновесия выполняется $P_0=cQ_0$.
В точке нового равновесия выполняется $P_1=0{,}8cQ_1$.
Разделив второе уравнение на первое и преобразовав, получаем, что $\frac{P_1/P_0}{Q_1/Q_0}=0,{8}$.

При этом мы знаем, что $\frac{P_1}{P_0}=0{,}9$, откуда получаем, что $\frac{Q_1}{Q_0}=1{,}125$.

Теперь осталось взглянуть на треугольники $OAB$ и $OAC$, площади которых равны сумме излишков потребителя и производителя соответственно до и после совершенствования технологии, и увидеть, что они имеют одно и то же основание $OA$, высоты же их равны рыночным объемам. Следовательно, $$\frac{S_1+S_2}{S_1}=\frac{0,5\cdot OA\cdot Q_2}{0,5\cdot OA\cdot Q_1}=\frac{Q_2}{Q_1}=1,125.$$