Издержки конкурентной фирмы задаются многочленом 33-й степени. Известно, что при Q=5 AVC достигает строгого локального минимума. Найдите множество всех функций f, таких что f является обратной функцией предложения данной фирмы, а отрезок [4;6] является подмножеством её области определения.
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Исходя из того, что $Q=5$ - точка локального минимума для $AVC$, заключаем, что существует такая очень маленькая окрестность точки $Q=5$ c радиусом $r$, что $AVC(5-r)>AVC(5)$ и $AVC(5+r)>AVC(5)$. Наша функция предложения должна быть определена всюду, при $Q \in [4,6]$. Рассмотрим цену предложения при $Q=5$. Очевидно, что, при $P эта точка неплохо подходит под оптимум. При $P>AVC(5)$, пересечение с $МС$ будет достигаться при $Q>5 $(иначе $МС$ будет иметь вертикальный участок). Таким образом, если $Q=5$ принадлежит кривой предложения, то лишь в паре с ценой $P=AVC(5)$.
Теперь рассмотрим нашу окрестность с радиусом $r$. Если точка $Q=5-r$ принадлежит кривой предложения, то очевидно, что $P_s(5-r) \geqslant AVC(5-r)$, иначе мы не покроем некоторую часть $VC$ и нам лучше будет покинуть отрасль. Но мы точно установили, что $AVC(5-r)>AVC(5)$. Таким образом, мы получаем, что на некотором интервале кривая предложения убывает, чего не может быть. Отсюда я (очень робко) предполагаю, что нет таких кривых предложения.
Мелкие замечания по твоему:
1) Зачем тебе окрестность, если ты пользуешься лишь одной точкой 5-r?
2) Для меня фраза "покинуть отрасль" звучит как "уйти в другую отрасль", но это предполагает, что мы в долгосрочном периоде. Я бы просто написал "установить нулевой выпуск".
Кстати, решая эту задачу, я обнаружил очень важное сходство между МС и VC! То, что на русской раскладке набирается как МС, на английской становится VC. Как бы пишешь на английском, потом Shift-Alt (это оператор дифференцирования) - и получаешь ответ МС. =)