Пусть прибыль от продажи двух товаров задана формулой
$P(x,y)= 40x+80y-x^2-y^2$, где х- количество единиц товара 1 и у –количество единиц товара 2. Продажа скольких единиц каждого товара максимизирует прибыль?

Комментарии

schrodenkatzen
18.04.2010 14:57    
Также разминочная задача
Сурен Аванян
18.04.2010 20:19    
ну это элементарно: максимизируй по двум переменным и приравняй к нулю)
Евгений Дрынкин
18.04.2010 20:49    
эту задачу нельзя давать по правилам минобра, так как она не соответствует требованиям знаний по математике: частные производные проходятся в университете.
Сурен Аванян ↑
18.04.2010 20:52    
Но многие школьник посещающие сайт ILE знают как это делать, и многое другое)))
Евгений Дрынкин ↑
18.04.2010 21:19    
знать и понимать - разные вещи. как говорит наш преподаватель по матану: "90% школьников, если не больше, на вопрос: "что такое производная?" отвечают: "это когда производная синуса- косинус, и наоборот. ну и так далее". при этом совершенно не понимая, что определение не может начинаться со слов "это когда". $\copyright$
Иван Лазарев ↑
19.04.2010 11:05    
Да ладно, Жень. Все соответствует. Выдели полный квадрат по x и по y - и все будет зашибись.
Евгений Дрынкин ↑
19.04.2010 11:56    
ну да, согласен))) я сначала на функцию не так глянул, подумал, что квадратичная форма))))
Дан Лифшиц
18.04.2010 21:33    
А почему нельзя "разделить" функцию на P(x) и P(y) и всё хорошо и без частных производных? :)
Евгений Дрынкин ↑
18.04.2010 21:43    
вот то, что так "разделить" можно, в курсе матана и доказывается :) откуда, к примеру, такая уверенность, что при этом исходная задача не будет заменена другой? то, что мы можем, вообще говоря независимо, максимизировать по каждой переменной, принимая значение другой, как фиксированное, факт нетривиальный.
представьте себе ситуацию: в отрасли 2 фирмы, конкурирующие по Курно, но удвоение оптимального объема для одной фирмы не является оптимумом исходной задачи, вот так вот :)
Леонид Миндюк ↑
18.04.2010 21:47    
но ведь мы выбираем объём выпуска каждого товара независимо от объёма выпуска другого,следовательно мы имеем право максимизировать сначала по одной потом по другой переменной считая второю переменную параметром
Евгений Дрынкин ↑
18.04.2010 21:59    
мммм, ну вот это доказательство в духе: "это когда" :) нужно понимать,что при изменении одного из параметров для второго у нас меняются не только значения,но и промежутки монотонности и выпуклости, так что мир сложнее, чем кажется :)
Леонид Миндюк ↑
18.04.2010 22:03    
тут есть экономический смысл из которого я к этому прихожу:если предельная прибыль от продажи икса больше чем от продажи игрека,то мы будем продавать ещё икса,пока предельные прибыли не сравняются ,если меньше то наоборот,так что мы имеем право приравнять предельные прибыли между собой и к нулю
Евгений Дрынкин ↑
18.04.2010 22:12    
ок, поставим перед функцией минус.)))) тогда у нас будет то же решение у системы, предложенной Вами, но при этом исходная задача станет неограниченной))))
Леонид Миндюк ↑
18.04.2010 22:22    
ну и как Вы предлагаете решить эту задачу без привлечения производной по двум переменным и без бытового,ничем не подкреплённого доказательства,которое привёл я?
Евгений Дрынкин ↑
18.04.2010 22:28    
ну, во-первых, я написал, что школьникам формального аппарата для решения данной задачи в общем виде недостаточно :) во-вторых, в некоторых частных случаях, как, например, в этом прекрасно выделяются полные квадраты :)
Тимур Аббясов ↑
18.04.2010 23:26    
F(x;y) = f(x) + f(y)
Пусть функция максимальная при некотором х, тогда
F(x;y)-> max <=> f(y)-> max
Аналогично приходим к тому что f(x)->max
Т.о. f(y)-> max и f(x)-> max

Например так нельзя?

Евгений Дрынкин ↑
18.04.2010 23:32    
на самом деле можно, но тут надо быть аккуратнее, то есть для функции F(x,y)=xy, такой способ уже надо аккуратно применять :)
Тимур Аббясов ↑
18.04.2010 23:35    
Ясное дело, ну xy и не входит в обыденные представления о f(x)+ f(y) )
Леонид Миндюк
18.04.2010 21:37    
Сурен,а ты умеешь доказывать получаешь ты максимум или минимум,когда берешь производную по двум переменным?
приравниваем предельные прибыли между собой и к нулю.
Тимур Аббясов ↑
18.04.2010 22:33    
Для этого нужна матрица Гессе, хотя если функция выглядит как сумма функций от одной переменной и от другой, то понятно что максимум - в точке максимума обеих.)
Дан Лифшиц ↑
18.04.2010 22:34    
Ага - ага =)
Евгений Дрынкин ↑
18.04.2010 23:55    
ага, а дальше с матрицей Гессе что делать? :)
Тимур Аббясов ↑
19.04.2010 00:11    
Я лично не умею, но Дан может сравнить с нулём)
Дан Лифшиц ↑
19.04.2010 11:45    
Ну т.к. это матрица вторых производных, то она может подсказать нам о выпуклости функций, т.е. мы поймём, получаем ли мы максимум или минимум, приравнивая производную к нулю.

В матрице же чтобы функция была "красивой" (т.е. в теме потребитель и спрос имела хорошее касание, или была вогнутой - такой, которая всегда выше чем производная к любой её точке), надо чтобы выполнялись следующие условия: $ a_{11} < 0 $; $ a_{22} < 0 $ ; $ a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} > 0 $.
Вообще я сейчас точно не помню, но если у миноров попеременные знаки +,-,+ то матрица хорошая, т.е. это максимум. Если наоборот, то минимум. Ну а если чёрт знает как, то это, товарищи, всеми нами любимое седло =)

Ну или идём дружно читаем Фихтенгольца =)

Илья Краснов
29.01.2012 23:41    
24 комментария и ни одного ответа :D

x=20; y=40 так?

Даниил Сорокин ↑
30.01.2012 00:08    
ага