Пусть прибыль от продажи двух товаров задана формулой
$P(x,y)= 40x+80y-x^2-y^2$, где х- количество единиц товара 1 и у –количество единиц товара 2. Продажа скольких единиц каждого товара максимизирует прибыль?
эту задачу нельзя давать по правилам минобра, так как она не соответствует требованиям знаний по математике: частные производные проходятся в университете.
знать и понимать - разные вещи. как говорит наш преподаватель по матану: "90% школьников, если не больше, на вопрос: "что такое производная?" отвечают: "это когда производная синуса- косинус, и наоборот. ну и так далее". при этом совершенно не понимая, что определение не может начинаться со слов "это когда". $\copyright$
вот то, что так "разделить" можно, в курсе матана и доказывается :) откуда, к примеру, такая уверенность, что при этом исходная задача не будет заменена другой? то, что мы можем, вообще говоря независимо, максимизировать по каждой переменной, принимая значение другой, как фиксированное, факт нетривиальный.
представьте себе ситуацию: в отрасли 2 фирмы, конкурирующие по Курно, но удвоение оптимального объема для одной фирмы не является оптимумом исходной задачи, вот так вот :)
но ведь мы выбираем объём выпуска каждого товара независимо от объёма выпуска другого,следовательно мы имеем право максимизировать сначала по одной потом по другой переменной считая второю переменную параметром
мммм, ну вот это доказательство в духе: "это когда" :) нужно понимать,что при изменении одного из параметров для второго у нас меняются не только значения,но и промежутки монотонности и выпуклости, так что мир сложнее, чем кажется :)
тут есть экономический смысл из которого я к этому прихожу:если предельная прибыль от продажи икса больше чем от продажи игрека,то мы будем продавать ещё икса,пока предельные прибыли не сравняются ,если меньше то наоборот,так что мы имеем право приравнять предельные прибыли между собой и к нулю
ок, поставим перед функцией минус.)))) тогда у нас будет то же решение у системы, предложенной Вами, но при этом исходная задача станет неограниченной))))
ну и как Вы предлагаете решить эту задачу без привлечения производной по двум переменным и без бытового,ничем не подкреплённого доказательства,которое привёл я?
ну, во-первых, я написал, что школьникам формального аппарата для решения данной задачи в общем виде недостаточно :) во-вторых, в некоторых частных случаях, как, например, в этом прекрасно выделяются полные квадраты :)
F(x;y) = f(x) + f(y)
Пусть функция максимальная при некотором х, тогда
F(x;y)-> max <=> f(y)-> max
Аналогично приходим к тому что f(x)->max
Т.о. f(y)-> max и f(x)-> max
Сурен,а ты умеешь доказывать получаешь ты максимум или минимум,когда берешь производную по двум переменным?
приравниваем предельные прибыли между собой и к нулю.
Для этого нужна матрица Гессе, хотя если функция выглядит как сумма функций от одной переменной и от другой, то понятно что максимум - в точке максимума обеих.)
Ну т.к. это матрица вторых производных, то она может подсказать нам о выпуклости функций, т.е. мы поймём, получаем ли мы максимум или минимум, приравнивая производную к нулю.
В матрице же чтобы функция была "красивой" (т.е. в теме потребитель и спрос имела хорошее касание, или была вогнутой - такой, которая всегда выше чем производная к любой её точке), надо чтобы выполнялись следующие условия: $ a_{11} < 0 $; $ a_{22} < 0 $ ; $ a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} > 0 $.
Вообще я сейчас точно не помню, но если у миноров попеременные знаки +,-,+ то матрица хорошая, т.е. это максимум. Если наоборот, то минимум. Ну а если чёрт знает как, то это, товарищи, всеми нами любимое седло =)
Комментарии
представьте себе ситуацию: в отрасли 2 фирмы, конкурирующие по Курно, но удвоение оптимального объема для одной фирмы не является оптимумом исходной задачи, вот так вот :)
Пусть функция максимальная при некотором х, тогда
F(x;y)-> max <=> f(y)-> max
Аналогично приходим к тому что f(x)->max
Т.о. f(y)-> max и f(x)-> max
Например так нельзя?
приравниваем предельные прибыли между собой и к нулю.
В матрице же чтобы функция была "красивой" (т.е. в теме потребитель и спрос имела хорошее касание, или была вогнутой - такой, которая всегда выше чем производная к любой её точке), надо чтобы выполнялись следующие условия: $ a_{11} < 0 $; $ a_{22} < 0 $ ; $ a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} > 0 $.
Вообще я сейчас точно не помню, но если у миноров попеременные знаки +,-,+ то матрица хорошая, т.е. это максимум. Если наоборот, то минимум. Ну а если чёрт знает как, то это, товарищи, всеми нами любимое седло =)
Ну или идём дружно читаем Фихтенгольца =)
x=20; y=40 так?