Совершенно конкурентная(и на рынке факторов, и на рынке товаров) фирма "Индукционный анализ" производит большие космические системы. Ее производственная функция имеет вид: $$Q(K;L)= \left \{ \begin{aligned}0; K\vee L=0\\K^\frac{1}{K}L^\frac{1}{L}+ K +L; K\wedge L>0\end{aligned}$$ Также известно, что $P_L=P_K=P_Q=5$. Найдите максимальную прибыль фирмы, если $K$ и $L$ задаются
а)только целыми числами;
б) действительными числами?
а)только целыми числами;
б) действительными числами?
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
$\pi = 5(K^{1/K}\cdot L^{1/L}+K+L)-5K-5L=5K^{1/K}\cdot L^{1/L}$
$(x^{1/x})'=-x^{1/x-2}\cdot (ln(x)-1)$(http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+x%5E%281%2Fx%29)
Приравниваем частные производные по $K$ и $L$ к 0:
$\pi'_{K}=-5\cdot L^{1/L}\cdot K^{1/K-2}\cdot (ln(K)-1)=0$
$\pi'_{L}=-5\cdot K^{1/K}\cdot L^{1/L-2}\cdot (ln(L)-1)=0$
$L>0, K>0 \Rightarrow$ равенство нулю только при $ln(K)=ln(L)=1\Rightarrow K=L=e \Rightarrow \pi_{max}=5\cdot\sqrt[e]{e^{2}}$
Для целых чисел проверяем $K=L=2$ и $K=L=3$ (ближайшие целые к e). В этом случае $\pi_{max}=5\cdot\sqrt[3]{3^{2}}$
Заметим, что $Q(L,K)$ симметрична относительна $K$ и $L$, и $P_{K}=P_{L}$, следовательно, в оптимуме $K=L$, записываем функцию прибыли, например, от капитала: $\pi(K)=5(K^{\frac{2}{K}}+2K)-10K=5K^{\frac{2}{K}}\longrightarrow \underset{K}{max} \Longrightarrow \pi'(K)=0$, ну а далее все как у Романа, только производную я считал без вольфрама, вручную.
Если кому-то нужно, как считать производную, могу выложить.
UPD: Вопрос к автору: разве возможна такая запись $\sqrt[e]{e^{2}}$?? Корень n-ной степени ( $\sqrt[n]{\text{ }}$ ) определен только для $n\in\mathbb{N}$, а $e\notin \mathbb{N}$.
Из этого разве следует натуральность n?