3 коровы

а) Полезность коровы $u(x,t)$ является квадратичной функцией от $x$ с отрицательным старшим коэффициентом. Значит, точка максимума — это точка $40/(2\times 2)=10$. Если корове ничего не мешает, она съест 10 кг сена. Это решение коровы не зависит от периода кормления $t$.
б) Если две коровы выбирают одно и то же время кормления $t$, то каждая из них сможет съесть не более 12 килограммов сена. Но $10<12$, поэтому точка максимума доступна корове. В такой ситуации каждая корова снова будет есть 10 кг сена. А вот если сразу все три коровы решили поесть одновременно, то каждой достанется не более 5 килограммов сена. Так как $10>5$, теперь корова не сможет съесть столько, сколько она хотела бы. Поскольку для любого значения $t$ на интервале $(0,5)$ функция $u(x,t)$ монотонно возрастает по $x$, то каждая корова выберет максимально возможное число еды — 5 килограммов сена.
в) Из пункта б) следует, что в равновесии как минимум 2 коровы должны есть в первом периоде $t=1$. Действительно, если в первом периоде ест только одна корова или вообще ни одной, то любой из оставшихся коров будет выгодно изменить свое решение и тоже выбрать $t=1$. Значит, остается 2 варианта: либо все 3 коровы едят в первом периоде, либо 2 коровы едят в первом периоде, а одна — во втором. Необходимо сравнить эти 2 альтернативы с точки зрения привлекательности для оставшейся коровы, которая выбирает, какой из двух вариантов — питание в первом или во втором периоде — лучше. Если все три коровы кормятся в первом периоде, то каждая из них получает полезность $u(5,1)=140$. Если две коровы кормятся в первом периоде, а одна — во втором, то две коровы получают максимально возможную полезность $u(10,1)=190$, а оставшаяся корова получает полезность $u(10,2)=180$. Так как $u(10,2)=180>140=u(5,1)$, то равновесием являются ситуации, в которых любые две из коров едят в первом периоде, а оставшаяся — во втором.
г) Теперь ситуация из пункта в) больше не является равновесием. Если две коровы поедят в первом периоде, то третьей корове ничего не останется. Поэтому при ограничении объема сена в 20 килограммов все три коровы будут есть в первом периоде. Кроме того, других равновесий нет (опять же, в равновесии как минимум 2 коровы должны есть в первом периоде, иначе те, кто едят позднее, пожалеют об этом).