Дискриминирующая авиакомпания

(б) Расчет цен авиабилетов и сравнительный анализ прибыли авиакомпании при продаже только билетов с открытой датой и при продаже как билетов с открытой датой, так и билетов с фиксированной датой – 7 баллов.

Прибыль авиакомпании может возрасти только, если она будет продавать и билеты с фиксированной датой.
Однако если билеты с открытой датой будут продаваться по цене в $\$700$, а билеты с фиксированной датой по цене в $\$200$, то все пассажиры будут покупать только дешевые билеты. Туристы откажутся от покупки билетов с открытой датой, так как они слишком дороги. Бизнесмены предпочтут билеты с фиксированной датой, так как при этом получат большую чистую выгоду: от покупки билетов с открытой датой бизнесмены ничего не выигрывают, так как покупают их по цене, соответствующей их оценке, а при покупке билетов с фиксированной датой их чистая выгода составляет $ 250-200=50$. В результате средняя прибыль авиакомпании упадет с $\$300$ до $\$100 . $

Если сделать билет с открытой датой дешевле, по крайней мере на $\$50$, то бизнесмены будут покупать билеты с открытой датой. Авиакомпания увеличит прибыль с одного проданного билета в среднем на $\$25 =(100-50)/2.$

(в) Анализ последствий запрета для бизнесменов (1 балл), для туристов (1 балл).
Запрет дискриминации не отразится на благосостоянии туристов, так как при дискриминации они покупают билеты по цене, равной их максимальной оценке, а потому имеют нулевую чистую выгоду. Однако запрет дискриминации приведет к ухудшению благосостояния бизнесметов, которые вынуждены будут платить за билет на $\$50$ больше.

(г) Постановка задачи – 4 балла.

Как показано при анализе пункта (а) в каждом диапазоне цен максимизация прибыли достигается при самой высокой цене.
При цене билета, равной $p_{i}=300+20(i-1)$, билет будут приобретать только клиенты категорий $i\le j \le n$ . При этом прибыль авиакомпании составит
$$\pi (i)= (200+20(i-1))(n-i+1)=20(9+i)(n-i+1)=20(9(n+1)+i(n-8)-i^{2}).$$

Решения задачи без учета проблемы целочисленности – 1 балл.

Эта функция достигает максимума при $i= \dfrac{n-8}{2}$ , возрастает при $i<\dfrac{n-8}{2}$ и убывает при $i>\dfrac{n-8}{2}$ .
Поскольку $i\ge 1$ , то при $n \le 10$ оптимум достигается при $i=1$, откуда $p=300$.

Анализ проблемы целочисленности и итоговый ответ – 4 балла.

При $n>10$ , если n - четно, то оптимальная цена составит
$$p=300+20(i-1)=300+10((n-8)-2)=200+10n.$$

Если n - нечетно, то нужно сравнить два варианта: $i_{1}=0.5(n+1)-4=0.5n-3.5$ и $i_{2}=0.5(n-1)-4=0.5n-4.5.$ Соответственно цены составят $p_{1}=210+10n$ и $p_{2}=190+10n,$ а прибыль будет равна $\pi_{1}=(110+10n)(0.5n+4.5)=5(11+n)(n+9)$ и $\pi_{2}=(90+10n)(0.5n+5.5)=5(9+n)(n+11)=\pi_{1}$.

Таким образом, при $n>10 $ , если n - нечетно, максимум прибыли достигается при двух вариантах цен:
$p_{1}=210+10n$ и $p_{2}=190+10n.$