1.2 Оптимизация функции в целых числах без использования производной

Иногда требуется найти наибольшее или наименьшее значение функции, область определения которых это не множество всех действительных чисел $\mathbb R$, а множество целых чисел $\mathbb Z$ (или часто в экономике множества целых неотрицательных чисел $\mathbb Z_+$). Например, количество товара, потребляемого покупателем или производимого фирмой, может измеряться только целыми неотрицательными числами.

Представим, что изначально есть некоторая непрерывная функция, область определения которой «сузили» до Z+. Мы умеем оптимизировать непрерывные функции, что можно сказать об оптимумах при сужении области определения?

Чтобы решать такие задачи, можно проигнорировать целочисленность и найти максимум функции так, как будто она определена на $\mathbb R$. Если окажется, что нужный экстремум целый, то больше ничего делать не нужно: ведь если в какой-то точке функция принимает, скажем, наибольшее значение среди всех чисел, то она тем более принимает наибольшее значение среди целых чисел.

Иногда, однако, это не так: максимальное (минимальное) значение не попадает в нужное множество. Тогда самое большое значение достигается в одной из двух целочисленных точек, соседних с одним из локальных максимумов (минимумов) не обязательно ближайшего соседа и не обязательно самого высокого (низкого). Иногда полезно помнить, что квадратичные параболы симметричны относительно вертикальной прямой, проведенной через вершину.

Также иногда полезно думать о приращении функции в двух соседних точках. До тех пор, пока оно положительное (то есть $n$-й член последовательности больше, чем $(n-1)$-й), функция возрастает; как только оно становится отрицательным убывает (значит, при смене знака приращения функция переходит через экстремум).

Пример

Найти точку, в которой функция $y=10x^2-5x+15$ принимает наименьшее значение
$x^*=\dfrac{5}{20}=0{,}25$; исходная функция является параболой с ветвями вверх.
Данное число не является целым. $0{,}25$ лежит между целыми числами $0$ и $1$. Ближайшим целым числом к числу $0{,}25$ является $0$. Это и есть та целочисленная точка, в которой парабола принимает наименьшее значение. (Проверим: $y(0)=15$; $y(1)=20$). Ответом к данной задаче будет число $0$.

Источники информации: материалы ЛЭШ 2014