8.1 Некоторые сведения об эластичности функции

Возьмем некоторую функцию $y=f(x)$. Возьмем некоторый произвольный $x_1$ из области определения данной функции, ему будет соответствовать единственный $y_1=f(x_1)$. Теперь вместо $x_1$ подставим в имеющуюся функцию $x_2$ (также принадлежащий её области определения). Получим $y_2=f(x_2)$. В зависимости от вида данной функции $y=f(x)$ можем получить, что $y_2=y_1$ или же, что $y_2\neq y_1$. Функция реагирует на изменение её аргумента. $y_2$ может отличаться от $y_1$ на большую величину $\Delta y$, а может и на маленькую. Эластичность функции как раз и показывает степень её реакции а изменение аргумента.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется значение функции при увеличении аргумента на один процент.

$E_x^y=\dfrac {\Delta F(x) (проценты) }{\Delta x (проценты) }=\dfrac {\Delta y / y }{\Delta x / x}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \dfrac{x}{y}$

В данной формуле $x$ традиционно был принят за независимую переменную.

Если нам нужно посчитать эластичность функции в какой-либо точке (когда изменение аргумента стремится к 0), то можно воспользоваться следующей формулой точечной эластичности:

$E=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac {\Delta y}{\Delta x} \cdot \dfrac{x}{y}=y'(x) \cdot \dfrac{x}{y}$

Пример 1
Функция спроса имеет вид $Q(P)=100-P$, посчитать эластичность в точке $Q=50$.

$Q=50$, значит и $P=50$

$Q'(P)=-1$

$E=-1 \cdot \dfrac{50}{50}= -1$

Формулой точечной эластичности можно также пользоваться, когда нужно узнать эластичность в окрестностях какой-либо точки - при малых изменениях функции и аргумента (до 10%):

$E=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \dfrac{x}{y}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot \dfrac{x_1}{y_1}$

Пример 2
При увеличении цены с 50 до 51 д.ед количество покупаемого товара снизилось с 200 до 195 шт. Найти точечную эластичность

$E=\dfrac{195-200}{51-50} \cdot {50}{200}=-1{,}25$

При больших приращениях функции и аргумента (более 10%) мы ищем чувствительность функции к изменению аргумента на некотором отрезке измерения. Тогда воспользуемся формулой дуговой эластичности, которая поможет избежать проблемы, возникшей бы, если бы мы пользовались формулой для расчета точечной эластичности - при использовании формулы точечной эластичности для подсчета эластичности на отрезке на конечный результат влияет то, какую точку мы считаем $x_1$, а какую $x_2$:

Пример 3
Имеется линейная функция $Q=100-P$, взята точка $A$ c координатами $(25;75)$ и точка $B$ с координатами $(75;25)$ (на первом месте стоит цена). Необходимо посчитать эластичность на отрезке $AB$

Посчитаем по формуле точечной эластичности. Пусть $P_1=x_1=25$, $P_2=x_2=75$. Тогда:

$E=\dfrac{25-75}{75-25} \cdot \dfrac{25}{75}=-\dfrac{1}{3}$

Теперь пусть $x_1=75$, $x_2=25$

$E=\dfrac{75-25}{25-75} \cdot {75}{25}=-3$

Показатели эластичности на отрезке $AB$ различаются в зависимости от того, какую точку $A$ или $B$ принять за начало отрезка. поэтому для расчета эластичности функции при больших изменениях аргумента и зависимой переменной используется формула дуговой эластичности:

$E=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot \dfrac { \dfrac{x_2+x_1}{2}}{\dfrac{y_2-y_1}{2}}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot {x_2+x_1}{y_2+y_1}$

В данной формуле для расчета эластичности вторым множителем выступает не координата начальной точки, а координата точки, располагающейся в середине отрезка $AB$. Теперь значение эластичности не зависит от выбора направления движения.

Посчитаем эластичность по новой формуле. $x_1=25$, $x_2=75$

$E=\dfrac{25-75}{75-25} \cdot \dfrac{75+25}{25+75}=-1$

Теперь $x_1=75$, $x_2=25$

$E=\dfrac{75-25}{25-75} \cdot \dfrac{25+75}{75+25}=-1$

Считать эластичность по формуле дуговой эластичности можно и при малых (до 10%) изменениях аргумента и функции. Значение дуговой и точечной эластичности тогда будут близки. Точечная эластичность показывает реакцию функции на изменение аргумента в точке или в её окрестности, дуговая же показывает чувствительность функции к изменению аргумента на некотором отрезке.

Если эластичность функции в какой-любо точке/ на каком-либо отрезке равна 0, то данная функция в этом месте является совершенно неэластичной, если $0< E< 1$, то это неэластичный фрагмент, если $E=1$, то это фрагмент с единичной эластичностью, если $1< E< \infty$, то фрагмент функции эластичен, если $E=\infty$, то он совершенно эластичен.